MATHADORE
    Volume 9 Numéro 305 –  22 mars 2009
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique


             Préscolaire : contenu disciplinaire (1)

   Essentiellement, les mathématiques touchent trois domaines : les quantités, l’espace et les propositions.

Les quantités

   Les quantités sont dites discrètes ou continues. Dans chaque cas, l’unité de quantification doit être définie et constante. Dans le domaine du continu, c’est-à-dire de la mesure, l’unité est une grandeur physique définie par une convention qui, idéalement, est universelle, sinon fort répandue : le mètre, l’heure, le litre, l’ampère, …  Ces unités sont parfaitement identiques. Il n’y a pas de petits litres ou de grands litres. Pour cette raison, il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, de les diviser sans risques de contradictions. Ainsi, 1m + 3m > 1m + 2m (m = mètre).

   Les unités discrètes sont souvent loin d’être identiques et on ne peut les additionner, par exemple, qu’après avoir précisé ce que nous considérons être la propriété dont l’opération arithmétique tiendra compte. Cette propriété désignera toujours le nombre d’objets mais jamais son nom. Prenons un exemple. Dans deux sacs, on a déposé des objets. Il y a deux objets dans le premier sac et trois dans le second. Combien d’objets avons-nous ? Cinq ou sept ? Cela dépend des objets qu’il faut considérer. Les sacs sont des objets que nous avons, mais faut-il les dénombrer ? La réponse sera non si l’unité est définie comme étant ce qu’il y a à l’intérieur des sacs. La réponse sera oui si l’unité est définie comme étant un objet provenant du marchand.

   Mais si un sac contient des pommes et l’autre des gants, pouvons-nous additionner les nombres qui représentent le contenu des sacs ? Oui, si et seulement si, nous ne considérons que le nombre d’objets et aucune autre de leurs propriétés.  Il en résulte que 5 = 5 même si le premier sac contient des pommes et le second des gants. La seule chose qui importe étant le nombre d’objets. C’est pour cette raison que l’on s’abstiendra d’écrire 5 gants = 5 pommes.

   C’est une des merveilles des mathématiques que d’avoir mis sur pieds un ensemble de termes et de symboles qui peuvent aussi bien désigner des personnes, des idées ou des objets. Mais, s’il y a cinq pommes dans un sac et 5 autres pommes dans un autre sac, pouvons-nous écrire que 5 pommes = 5 pommes ? Pour le savoir, lequel de ces deux sacs prendriez-vous afin de faire le plus de compote ? Cela dépendrait de la grosseur des pommes n’est-ce pas ? Or si un sac contient de petites pommes et l’autre de grosses pommes, vous devriez en conclure qu’au début vous aviez 5 pommes = 5 pommes mais, plus tard que1 compote < 1 compote, ce qui est illogique.

   En ce qui concerne les quantités, au préscolaire, il y a lieu de débuter par l’étude de la mesure de longueurs. D’abord, il faut que l’élève apprenne à comparer correctement les longueurs de crayons, de bâtonnets ou de réglettes. Ensuite, il faut qu’il apprenne à comparer la longueur d’un objet à la longueur totale d’un ensemble de bâtonnets qui, étant identiques, serviront d’unités.

   À l’étape suivante, il devra dénombrer un ensemble d’objets en associant à chacun de ces objets une réglette-unité. De cette façon, ces objets perdront toutes les propriétés sauf celle qui désigne leur nombre. De plus, grâce aux réglettes-unité, il sera possible de comparer le nombre d’éléments de divers ensembles. Ainsi, l’élève aura l’occasion de comprendre à la fois la conservation du nombre et celle de la longueur.

   Lorsque les élèves seront devenus habiles avec ce qui précède, mais sur des ensembles de moins d’une dizaine d’objets, il sera temps de leur proposer des ensembles qui contiendront de plus en plus d’éléments. Si comparer entre eux des ensembles de cinq et sept éléments est relativement simple, le problème est fort différent lorsque ces ensembles contiennent chacun plus d’une vingtaine d’éléments.

   En effet, tenter d’aligner d’aussi grands ensembles de réglettes-unité demande une grande dextérité. Et, peut-être que l’élève va manquer de réglettes-unité ?. Il faut alors laisser l’élève réfléchir à ce problème et, éventuellement, comprendre qu’en regroupant un certain nombre de réglettes-unité, elles peuvent être remplacées par une réglette plus grande.

    En passant, notez que, pendant toutes les activités précédentes, les nombres n’ont jamais été écrits. On s’est contenté de les évoquer oralement.

   La suite, la semaine prochaine.

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   Robert Lyons