MATHADORE
    Volume 9 Numéro 299 –  1er février 2009
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                                Les quantités (2)

La séquence habituelle d’apprentissages scolaires est telle que, dès l’âge de six ans, l’élève doit résoudre des équations telle 3 + ___ = 5. Malgré ses succès, il devra attendre d’avoir douze ans avant de se mesurer à 3 + x = 5. Il est étonnant de voir cette nouvelle forme, du même problème, causer des difficultés à des élèves pour qui la forme apprise à six ans ne cause aucun problème. En fait, deux raisons semblent expliquer cela. La première est qu’ils ont entendu certains adultes parler de l’algèbre comme s’il s’agissait d’un domaine où l’échec était normal. La seconde est le temps mis entre l’apprentissage de la première représentation et celui de la seconde, soit six années. Certains élèves ne peuvent comprendre que nous ayons espacé de six années l’apprentissage de représentations fort semblables de la même chose. Ils en concluent que ces deux représentations ne peuvent s’associer tout en ne voyant pas comment le x de 3 + x = 5 peut représenter autre chose que le nombre 2.

Prenons une illustration simple dont nous allons quantifier l’aire.

                           
 

Si nous décidons que le petit carré est l’unité, cette illustration représente le nombre 425 puisque le rectangle est équivalent à dix petits carrés et le grand carré, à cent petits carrés. Par ailleurs, si nous décidons que c’est le grand carré qui est l’unité, nous avons le nombre 4,25. Ou encore 42,5 si le rectangle non carré représente l’unité. Tant que la décision n’est pas prise nous pouvons tout simplement écrire 4x + 2y + 5z. Mais, puisque ces formes sont construites au moyen de deux longueurs différentes seulement, nous pouvons nommer ces longueurs x, pour la plus longue et y, pour la plus petite. Dans ce cas, 4x² + 2xy + 5y² représente la quantité illustrée.

Évidemment, si l’unité de quantification est la suivante :

   

alors la figure originale représente la moitié de cette unité et sa valeur numérique est ½. Mais cette valeur serait ¼ si l’unité de quantification possédait une étendue équivalente à dix-sept grands carrés. Mathématiques = créativité!

Bref, les mêmes quantités physiques peuvent être représentées par des entiers, des fractions ou des nombres algébriques. Ne vaudrait-il pas mieux alors de développer le sens des nombres et des opérations à partir de matériel concret et d’étudier ensuite les divers systèmes symboliques qui les représentent ?

Quelles différences y a-t-il entre :

- 3 dizaines + 4 dizaines = 7 dizaines ;
- 3 quarts + 4 quarts = 7 quarts ;
- 3x + 4x = 7x ?

La seule différence se situe dans la représentation symbolique.

Alors, ce que je propose est que l’apprentissage soit d’abord construit à partir de représentations concrètes de quantités, les réglettes Cuisenaire ou les tuiles algébriques par exemples. Ensuite, que les élèves apprennent à nommer en même temps ces quantités au moyen de différents systèmes symboliques : nombres entiers, fractions, nombres algébriques.

Cela signifie qu’en première année, l’élève apprendrait à résoudre aussi bien             3 + ___ = 5 que 3 + x = 5, et à additionner 3 + 5 = ___ comme 3a + 5a = ___. Que vers l’âge de neuf ou dix ans, il apprendrait que 156 ÷ 13 = 12   tout   comme (1c + 5d + 6u) ÷ (1d + 3u) = 1d + 2u ou encore que (1x² + 5xy + 6y²) ÷ (1x + 3y) = 1x + 2y. Ayant expérimenté cela avec de nombreux élèves, même avec des élèves dits «en difficulté», je peux vous assurer que cela ne pose aucun problème sérieux.

Mais, j’y pense, ce serait semblable à ce que vit l’enfant de sa naissance à l’âge de douze mois environ, il apprend à connaître son environnement sans pouvoir en parler. Ou encore ce que vivent ces enfants de deux ou trois ans qui apprennent en parallèle deux ou trois langues. Chaque nouveau mot, qu’elle qu’en soit la langue, est d’abord associé à un objet, à une action. Ces enfants ne traduisent pas ces nouveaux mots dans une autre langue, ils apprennent à nommer directement chaque action ou chaque objet dans chaque langue. 

En fait, ce que je propose est de développer d’abord des concepts et de les nommer par la suite avec, s’il y a lieu, les divers systèmes symboliques des mathématiques au lieu de tenter de développer des concepts à partir de leurs représentations symboliques. Avec le système actuel, on enseigne trop souvent aux élèves  «à parler et à écrire» sans qu’ils sachent de quoi il est question. C’est cette incapacité d’associer le symbolisme avec la réalité qui les empêche de voir qu’en mathématiques la différence entre ce qui est appris avec plusieurs années d’intervalle ne réside que dans le symbolisme.

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Robert Lyons