MATHADORE
    Volume 9 Numéro 296 –  14 décembre 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                       Propos sur les algorithmes

Un algorithme de calcul est une procédure réalisée au moyen de matériel, de dessins ou de symboles dans le but de trouver un résultat à une opération donnée. Derrière chaque algorithme se cache un raisonnement rigoureux tel que chaque étape peut être justifiée en fonction des propriétés des nombres ou des opérations. De plus, de façon  analogique, il y a correspondance entre les algorithmes concrets, imagés ou symboliques. La seule différence, c’est le mode de représentation.

Il existe trois grandes catégories d’algorithmes : les algorithmes d’apprentissage, les algorithmes optionnels et les algorithmes courants.

Les algorithmes d’apprentissage

Ils sont conçus afin de s’assurer que chaque étape est justifiée. Ils sont inventés par les élèves ou présentés par les enseignants. Pour un adulte habile en calcul, ils semblent lourds et compliqués pour rien. C’est exact et le même phénomène existe lorsqu’on observe un enfant qui apprend à marcher ou à conduire une bicyclette. Il ne faut pas oublier qu’ils font partie d’un processus sans en être le terminus.

Voici un exemple d’algorithme d’apprentissage pour l’addition.

   3 4 5
+ 2 7 8
   5 1 3
   6 2 3

Chaque trait représente une retenue ou un report. Cet algorithme procède de gauche à droite et permet, vers la fin de l’apprentissage, de trouver directement la réponse 623 sans noter préalablement 513 et les tirets.

Les algorithmes optionnels

Il s’agit de techniques qui rendent l’exécution des algorithmes courants plus simple. Habituellement, ils consistent en une modification des nombres de l’opération et, parfois, en une modification de l’opération elle-même.
Par exemple, au lieu de :

• 397 + 245, on peut effectuer 400 + 242;
• 400 – 238, on peut effectuer 399 – 237;
• 48 x 45, on peut effectuer 24 x 90;
• 696 ÷ 24, on peut effectuer 348 ÷ 12 ou 174 ÷ 6;
•  ¾ ÷ ½, on peut effectuer ¼ x 2.

Il existe de nombreux exemples d’algorithmes optionnels, malheureusement ils sont surtout utilisés par les élèves et les adultes qui ont développés une compréhension supérieure des mathématiques. Grâce à cette compréhension supérieure, ces personnes simplifient leur travail en calcul et diminuent les risques d’erreurs, ce qui les avantage encore plus.

Les algorithmes courants

On les appelle aussi algorithmes traditionnels. Ils sont l’aboutissement du travail d’apprentissage. Si, lors de cet apprentissage, aucune étape n’a été omise, non seulement l’élève pourra calculer efficacement mais en plus il pourra justifier chaque étape de son algorithme. Par exemple expliquer pourquoi il change 6 ÷ ½ par 6 x 2.

Les algorithmes traditionnels sont habituellement perçus comme une panacée, des incontournables démontrant, lorsqu’ils sont exécutés adéquatement, que l’élève a compris l’essentiel des mathématiques. Ainsi, le québécois francophones considère sa technique de division des entiers comme la technique de division des entiers. Le québécois anglophones aura la même perception pour sa technique, laquelle est différente de celle des francophones. Pendant ce temps, l’asiatique aura la même opinion de son algorithme de division effectué sur un boulier.

Plus intéressants encore sont les algorithmes courants et, souvent inconscients, utilisés en calcul mental surtout. Vous remettez un billet de vingt dollars afin de régler une facture de 14,78 $. Combien doit-on vous rendre? Calculez-le mentalement avant de poursuivre votre lecture.

Si vous avez une expérience de caissière ou de caissier, il est probable que vous ayez d’abord pensé qu’il faut remettre 22 ¢ afin de compléter le dollar et ensuite cinq dollars puisque 15 $ + 5 $ = 20 $. Mais si vous n’avez jamais occupé un tel poste, vous avez probablement pensé que vous deviez recevoir un peu plus que cinq dollars. Vous avez ensuite calculé les vingt-deux cents restantes. Vous avez calculé de gauche à droite malgré ce que l’école vous a appris.

Voici un lien pour notre dossier spécial sur les algorithmes. Quelques algorithmes sont présentés en établissant des liens entre l’algorithme symbolique et l’algorithme concret. On y voit l’algorithme d’apprentissage et son aboutissement, l’algorithme courant. À l’occasion des algorithmes optionnels sont aussi présentés.

Que pensez-vous de l’importance d’associer chaque algorithme symbolique à son correspondant concret ? Que pensez-vous d’initier les élèves aux algorithmes optionnels ? Que pensez-vous d’accorder à l’élève le droit d’utiliser l’algorithme de son choix, ce qui inclut, lorsqu’ils sont efficaces, les algorithmes optionnels? Que pensez-vous de n’exiger le calcul efficace qu’à la fin du processus d’apprentissage, c’est-à-dire après une solide exploration de quelques algorithmes d’apprentissage et de quelques algorithmes optionnels mais surtout après que l’élève soit capable d’associer entre eux algorithmes concrets et algorithmes symboliques, tout en étant capable d’en justifier chaque étape ?

À vous !

Robert Lyons