MATHADORE
    Volume 9 Numéro 295 –  7 décembre 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                       Simple et généralisable

Les difficultés les plus nombreuses et les plus tenaces en mathématiques proviennent du fait que certains concepts sont présentés et développés pendant plusieurs mois ou années autour de quelques cas particuliers du concept étudié. C’est ce qui arrive lorsqu’on enseigne aux élèves que 5 – 7 est impossible alors que 7 – 5 est possible; que la multiplication est une addition répétée; que diviser c’est partager ou mesurer; que les exposants représentent une multiplication répétée; qu’un sommet se situe au point de rencontre de deux arêtes…

Les erreurs et difficultés qui découlent de ce qui précède sont les suivantes.

- 35 – 17 = 22, qui est l’erreur la plus fréquente en calcul.

- Incapacité à comprendre :

• que ½ × ½ = ¼  ou que (-3) × (-4) = 12 ;
• que 1 $ ÷1/2 = 2 $ ;
• que 60 = 1
• que le cône a effectivement un sommet (un apex est un sommet remarquable…)

Il me semple qu’il existe deux possibilités afin d’éviter que des aspects particuliers d’un concept deviennent, pour l’élève, le concept lui-même.

Première possibilité : Présenter dès le début au moins un cas de chaque type d’applications du concept.

Deuxième possibilité : Partir d’une schématisation à laquelle toutes les applications du concept puissent être associées.

La première possibilité me semble irréaliste puisqu’il existe trop de types d’applications de certains concepts pour qu’il soit possible de les évoquer de façon exhaustive et d’en tirer une définition générale correcte. D’ailleurs, une définition correcte de la multiplication, par exemple, ressemblerait à «une opération associative, commutative, distributive sur l’addition…» Ouf ! Ce n’est pas avec une définition semblable que le concept de multiplication deviendra accessible.

La seconde possibilité me semble beaucoup plus réaliste. Une sorte de schématisation ou d’image mentale, toujours la même, pour toute la fonction additive, une autre pour toute la fonction multiplicative, une autre pour tous les types d’exposants… Une image mentale pouvant être un dessin ou une disposition particulière à moins que ce ne soit une petite chansonnette ou un ensemble de gestes familiers.

En guise d’exemple, la fonction additive peut toujours être illustrée sur un axe. Le nom de cet axe est le dénominateur commun de l’addition ou de la soustraction à effectuer. Sur l’axe des x, on additionne ou on soustrait des x : 5x – 2x = 3x. Sur l’axe des cinquièmes, on additionne ou on soustrait des cinquièmes.

Par contre, il ne peut y avoir de dénominateur commun en multiplication ou en division : 3 m × 4 m = 12 m2. Cela implique que la fonction multiplicative ne peut être illustrée sur un seul axe. Il en faudra deux et l’on formera un rectangle. Or le rectangle peut illustrer tous les problèmes impliquant la division et la multiplication.

Bref, la fonction multiplicative serait fortement associée au rectangle et, par la suite, toutes ses applications le seraient aussi. De la même façon, la fonction additive serait associée à des déplacements sur un axe. 

En guise d’exemples : la multiplication consiste à trouver l’aire d’un rectangle dont les côtés sont connus; en division, il faut trouver un côté alors que l’aire et l’autre côté sont connus; extraire la racine carrée, c’est trouver la longueur du côté d’un carré dont l’aire est connue; factoriser, c’est trouver les côtés possibles d’un rectangle dont l’aire est connue.

Connaissant l’espace parcouru par un mobile en un temps donné, la vitesse de ce mobile correspond au côté d’un rectangle dont l’aire représente l’espace parcouru et la longueur, le temps du déplacement. Il faut donc effectuer une division. En électricité, le voltage est trouvé en multipliant l’ampérage par la résistance. L’aire du rectangle représente donc le voltage et les côtés représentent l’ampérage et la résistance. À l’épicerie, si un demi-kilogramme de viande coûte quatre dollars alors l’aire du rectangle représentera le prix de ce demi-kilogramme, soit quatre dollars, la hauteur représentera le nombre de kilogrammes achetés, ici un demi et la longueur représentera le prix d’un kilogramme, soit huit dollars. On aura donc : 4$ ÷ ½ = 8$ soit le prix payé divisé par le nombre de kilogrammes achetés, ce qui conduit à trouver le prix d’un kilogramme.

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Robert Lyons