MATHADORE
    Volume 9 Numéro 290 –  2 novembre 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

     La grande cause des difficultés en mathématiques

Depuis Mathadore 285, nous traitons du diagnostic. Si nous mettons de côté les difficultés résultant de problèmes de santé ou de surprotection, qui affectent moins de vingt pourcent des élèves des classes régulières, il n’en demeure pas moins qu’environ quinze pourcent des élèves seulement peuvent être considérés forts en mathématiques. Toutefois, la confiance de ces élèves est facile à ébranler et le titre de «forts en mathématiques» ne leur est attribué que grâce à des tests qui ne mesurent que rarement leur raisonnement et leur créativité, caractéristiques incontournables des vrais «forts en mathématiques». Bref, l’apprentissage des mathématiques peut être beaucoup plus facile, beaucoup plus solide et beaucoup plus agréable pour plus de quatre-vingt pourcent des élèves.

Pour arriver à ce résultat, les programmes, les manuels et l’enseignement des mathématiques doivent être modifiés. Certains changements sont simples et faciles à faire. Il suffirait que le ministère de l’Éducation publie un guide pédagogique portant sur ces changements mineurs. Les changements plus importants ne peuvent s’effectuer que sur plusieurs années car ils touchent les apprentissages et les convictions profondes des enseignants et… des parents. Et puisque, comme l’écrivait Woodie Allen, les bébés mouillés constituent la seule catégorie d’êtres humains qui souhaitent vraiment un changement…

Il faut savoir que la plus grande cause de difficultés en mathématiques résulte des séquences d’apprentissages trop longues que l’on retrouve dans tous les programmes. Essentiellement, ces séquences morcèlent littéralement un concept au point de lui enlever tout son sens réel. Et nous assistons alors à une progression où, plus l’élève avance, moins les mathématiques semblent avoir du sens. Voici un exemple classique.

Lorsque, vers l’âge de sept ou huit ans, l’élève aborde l’apprentissage de la division, celle-ci  est  présentée  comme  étant  soit  un  partage  (6 $ ÷ 2 = 3 $),  soit  une mesure (6 $ ÷ 2 $ = 3). Donc, si deux personnes se partagent six dollars, chacune recevra trois dollars et, par ailleurs, si nous voulons savoir combien d’objets coûtant deux dollars peuvent être achetés avec six dollars, on en aura trois.

Ce qui précède est enseigné, appris et consolidé en quelques années et n’est valable que sur certains problèmes relatifs aux entiers naturels (0, 1, 2,…). Voici quelques exceptions :

1. Si l’aire d’un rectangle est de douze centimètres, le calcul de sa longueur ne correspond ni à un partage ni à une mesure.
2. Si je puis m’habiller correctement de six façons différentes au moyen de deux pantalons et de chemises, il me faut au moins trois chemises. Or cela ne correspond, encore une fois, ni à une mesure, ni à un partage.

Il est d’ailleurs étonnant de constater que le nouveau programme du Québec propose comme sens de la division, et ce pour chaque cycle du primaire, le partage, la contenance (mesure) et la soustraction répétée (qui est une technique afin de trouver la réponse d’une division et non un des «sens de la division»). Ces définitions ne sont présentes que dans la section des nombres naturels.

Mais dans la section «mesure» on retrouve la mesure d’aire aux deuxième et troisième cycles et l’étude des probabilités dès le premier cycle. Bref, les auteurs de programme ont associé la division sur les naturels au partage et à la mesure seulement alors que deux pages plus loin, dans le même programme, la division n’est plus un partage ni une mesure. Ce cloisonnement d’apprentissages parallèles vus au même âge laisse bouche bée au moment où le ministère prône l’utilisation d’activités associant les mathématiques aux autres matières. De telles associations sont certes fort souhaitables, mais, avant elles, ne devrait-on pas s’assurer d’un décloisonnement entre les éléments du programme de mathématiques lui-même ?

Toutefois, ce qui sera le plus nuisible est l’impossibilité de généraliser les premiers sens d’une opération lorsqu’arrive l’étude des fractions, des entiers relatifs et de l’algèbre. Voyons cela :
Fractions : 10 mètres ÷ ½ = 20 mètres. Ce n’est ni une mesure ni un partage.
Relatifs :    10$ ÷ (-2) = -5$. Ce n’est ni une mesure ni un partage.
                  10$ ÷ (-2$) = -5. Ce n’est ni une mesure ni un partage.
Algèbre :    a²  ÷  a  =  a. Ce n’est ni une mesure ni un partage.

Quels sont donc les sens que le programme du Québec (et les autres) attribuent à la division sur les fractions, sur les relatifs et sur les nombres algébriques ?
Programme du Québec pour le primaire, page 135 :
        «Nombres décimaux 
          Sens des opérations : multiplication et division.
          Fractions
          Sens des opérations (à l’aide d’un matériel concret et de schémas) : addition,
          soustraction et multiplication par un nombre naturel.»

Notez que la division est absente sous l’item «Fractions) mais présente pour les nombres décimaux. Bref, 10$ ÷ 0,5 est au programme alors que 10$ ÷ ½ ne l’est pas. Et l’on prône la transversalité ! On remarquera que le programme omet de mentionner des sens à la multiplication et à la division. C’est la progression vers le non-sens ! Mais les élèves chercheront à associer ces nouvelles multiplications et divisions aux sens appris quelques années plus tôt et n’y comprendront plus rien. Il est clair que les auteurs du programme ont, d’abord et avant tout, construit celui-ci en fonction des techniques de calcul et non en fonction du sens des opérations. Cela a toujours été fait de cette façon et c’est la raison principale de l’échec en mathématiques.

Mais, est-il possible de faire autrement ? Absolument ! Cependant, ce changement est majeur et il exige des connaissances et une expérience peu répandues. Quelque chose doit toutefois être fait et, plus le temps passe, plus nous formons de mathophobes. Nous n’avons pas le choix, si nous désirons améliorer l’enseignement des mathématiques, il est inutile de compter sur les divers ministères de l’Éducation où des politiciens, sans formation ou compétences en enseignement des mathématiques, donnent des directives politiquement rentables d’abord.

Alors, voilà, lectrices et lecteurs de Mathadore, je vous convierai, la semaine prochaine, à participer à une grande aventure, laquelle permettra de voir les fondements de la pédagogie, de la didactique des mathématiques et des mathématiques elles-mêmes.

Robert Lyons