MATHADORE
    Volume 9 Numéro 287 –  12 octobre 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

         Le diagnostic en mathématiques

Les deux derniers numéros de Mathadore ont traité de la dyscalculie. Malheureusement il ne semble pas encore possible de la diagnostiquer avec précision voire même d’en démontrer l’existence. Il est cependant évident qu’il existe des difficultés d’apprentissages en mathématiques, mais à quoi sert de remplacer l’étiquette «difficultés en mathématiques» par l’étiquette «dyscalculie».

Des travaux récents en neurologie tentent de vérifier si le cerveau des élèves en difficultés en mathématiques comporte des caractéristiques spéciales. On cherche en fait à associer la dyscalculie à des anomalies neurologiques précises. Malheureusement, ces recherches sont trop récentes pour qu’elles puissent servir. Par ailleurs il y a de fortes chances pour que le cerveau des élèves en difficultés en mathématiques ne soit pas différent, mais fonctionne différemment. En fait, devant un apprentissage quelconque, nous ne travaillons pas tous de la même façon et, en conséquence, nous ne sollicitons pas les mêmes régions de notre cerveau.

Après quarante années consacrées à l’enseignement des mathématiques, il m’apparaît que la meilleure façon de comprendre les erreurs et les difficultés d’un élève consiste à identifier ses perceptions par rapport à cette matière et à son apprentissage. Ainsi certains croient que la mémorisation et la pratique répétitive sont ce qu’il y a de plus important, d’autres associent plutôt les mathématiques à la logique et un dernier groupe est composé de personnes qui considèrent que la créativité est ce qui importe le plus. 

Les élèves qui s’appuient surtout sur leur mémoire ne travaillent pas comme ceux qui s’appuient sur leur raisonnement et, encore moins, comme ceux qui s’appuient sur leur créativité. Les élèves en difficultés appartiennent habituellement au premier groupe et il n’y a aucun doute qu’une observation de leur cerveau montrerait des images bien différentes de celles du cerveau des deux autres groupes au moment de l’apprentissage. Mais cela ne dépend pas de la matière dont le cerveau se compose ou de ses capacités, mais de perceptions. Ces perceptions dépendent principalement des premiers contacts de l’enfant avec les mathématiques. Voyons quelques exemples.

Numération : Au préscolaire, et plus tard, en première année, les élèves sont confrontés à l’apprentissage de la numération positionnelle. Ce qu’ils doivent alors surtout comprendre c’est l’équivalence entre une dizaine et dix unités, par exemple que le chiffre 3 du nombre 35 représente à la fois trois dizaines et trente unités. Or si vous montrez à ces élèves une illustration où figurent trois lions et deux ours en leur demandant s’il y a plus de lions ou plus d’animaux, plus de la moitié des élèves de cinq ou de six ans répondent qu’il y a plus de lions. Ces élèves considèrent qu’il y a trois lions et deux animaux, les ours. Leur difficulté consiste à considérer que les lions sont à la fois des lions et des animaux. On comprendra que saisir que le 3 de 35 représente à la fois des dizaines et des unités demande au moins de réussir l’épreuve des lions et des ours.

Que va faire l’élève qui aborde l’apprentissage de la numération sans réussir le problème des lions et des ours? Il va mémoriser afin de s’en sortir. Pour la majorité des élèves, le premier échec en mathématiques est ce qui vient d’être décrit. À cause de cet échec plusieurs élèves commencent à développer la perception selon laquelle les mathématiques sont souvent incompréhensibles et que la mémoire constitue la planche de salut essentielle.

Calcul : Pour plusieurs parents, ce qu’il y a de plus important en mathématiques, c’est le calcul et la mémorisation des tables. De plus, en calcul, c’est l’apprentissage des seules techniques qu’eux ont appris qui importe. Ils ignorent souvent qu’en France et au Canada l’algorithme courant de soustraction est différent, qu’au Canada les  francophones et les anglophones ne divisent pas de la même façon.

Il en résulte qu’à compter de huit ans, l’élève cherche surtout à calculer et il calcule n’importe quoi. Des élèves nous ont déjà mentionné que la lecture d’un texte en français d’une part et la lecture d’un problème mathématique d’autre part étaient fort différentes : « En français, il faut essayer de comprendre ce dont on parle; en mathématiques, il faut essayer de trouver le calcul à faire. » Cette recherche du calcul à effectuer se base sur l’ordre des nombres du problème (Si le premier nombre est plus petit que le second, ce n’est pas une soustraction…), sur certains mots tels « chaque », « en tout », « reste » ou sur l’algorithme pratiqué lors des deux dernière semaines...

C’est ainsi qu’à compter de l’âge de huit ans, en mathématiques, les élèves considèrent qu’il est normal d’avoir des chevaux à six pattes, que les cordes soient plus longues à trois heures qu’à deux heures, que la longueur des poissons pêchés dépend de la longueur de la canne à pêche...

Les exposants : Après avoir appris que les exposants remplacent une multiplication répétée puisque 63 = 6 × 6 × 6, c’est leur mémoire que sollicitent les étudiants pour apprendre que 70 = 1 et que 5-2 = 4%.

Bref, si un grand nombre d’élèves se fient trop sur leur mémoire c’est à cause de l’enseignement reçu à l’école et à la maison et non à cause d’une quelconque incapacité. Il suffit de retarder de quelques mois l’apprentissage de la numération positionnelle pour que plusieurs élèves fondent par la suite leur apprentissage des mathématiques sur le raisonnement et sur la créativité.

Et il y a cet élève de cinquième année, en grandes difficultés, qui, face à une erreur en mathématiques, s’écrit : « Je déteste les mathématiques car ce qu’on apprend une année n’est souvent plus vrai l’année suivante. Vive le français, là on me répète les mêmes choses depuis cinq ans. »

Et voilà que les mathématiques,  matière de la non-contradiction, matière pour laquelle l’exception infirme la règle, est perçue comme moins logique que le français où abondent les exceptions. Et que dire des mathophobes qui se croient incapables de comprendre les mathématiques et qui paniquent devant un problème souvent très simple.

Bref, quel que soit le talent, si des perceptions inadéquates orientent mal le travail à effectuer, l’échec sera constant. Il en résulte que tout diagnostic doit d’abord identifier les perceptions de l’élève face aux mathématiques et à leur apprentissage. Par la suite, le premier objectif de l’enseignement régulier ou correctif devra être de remplacer les perceptions incorrectes par des perceptions adéquates. Cela se fera en permettant à l’élève de résoudre seul des problèmes réputés difficiles qui s’adressent à des élèves plus vieux, en permettant toujours la manipulation afin que l’élève se construise des images mentales qui seront des références pour de nombreux apprentissages, en donnant à l’élève des problèmes situés dans un contexte pertinent et en demandant à l’élève de justifier ses démarches et solutions.

«Des problèmes réputés difficiles qui s’adressent à des élèves plus vieux» voilà de quoi en inquiéter plusieurs. Et pourtant, le programme de mathématiques du secondaire renferme énormément de notions qui sont identiques à celles du primaire tout en étant présentées dans un emballage symbolique différent qui sème la confusion.

Des exemples :

Première année du primaire : 3 + _  = 5 
Six ans plus tard :                 3 + x = 5

Deuxième année du primaire : 3 dizaines + 4 unités + 5 unités + 6 dizaines =   ( 99)
Six ans plus tard :                         3x      +   4y      +     5y     +     6x =    (9x + 9y)

Cinquième année du primaire : 31      ×      12       =           (372)
Cinq ans plus tard :              (3x + 1y) × (1x + 2y) =  (3x² + 7xy + 2y²)

Tous les enfants de six ans savent qu’il manque 3 jetons lorsqu’on veut en donner 5 tout en ne disposant que de 2 jetons. Il leur faudra attendre au moins quatre (4) ans avant de noter cela sous la forme : 2 – 5 = –3. En attendant ce moment de vérité, ils devront croire que 2 – 5 est impossible.

Cinquième année du primaire : 6³ = 6 × 6  × 6
                                                            1
Quatre années plus tard : 6¯ ³ =            1_____ 
                                                      6 × 6  × 6

Et, avec chance, une vie plus tard :  6°  =        6 × 6  × 6   =    1
                                                                      6 × 6  × 6

Robert Lyons