MATHADORE
    Volume 8 Numéro 275 –  13 avril 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                     Et les connaissances antérieures ?

Depuis Mathadore 270, nous avons présenté une façon validée d’enseigner la fonction multiplicative. Mieux encore, cette approche permet aux élèves de sept ou huit ans de se mesurer à des problèmes sur lesquels peinent leurs aînés de quinze ou seize ans. On aura remarqué l’utilisation d’une thématique simple, le dallage. On aura aussi remarqué que nous n’avons pas tenté de réactiver diverses connaissances antérieures relatives à la fonction multiplicative. Il y a de nombreuses raisons à cela. Voici les plus importantes.

1. Les difficultés d’apprentissage les plus tenaces et les plus répandues en mathématiques proviennent des connaissances antérieures.
En guise d’exemples : Les programmes d’études présentent la multiplication telle une addition répétée. Cette «future connaissance antérieure» empêchera les élèves de comprendre que ½ × ½ = ¼, que (–3) × (–4) = +12, que a × b = ab, que a × a =a². En division, les élèves apprennent que diviser c’est partager ou mesurer. Pourtant 1$ ÷ ½ = 2$. Quel merveilleux partage! De plus, 15$ ÷
(–3) = –5$. Aurait-on partagé 15$ en «moins 3 parts»? Enfin, après avoir appris que les exposants représentent une multiplication répétée, par exemple : 4³ = 4 × 4 × 4, combien d’adultes comprennent que 4° = 1 ou encore que 4?²= 0,0625?
En mathématiques, des connaissances enseignées systématiquement vont hanter la majorité des élèves durant toute leur vie.

2. Une autre difficulté réelle provient des écarts de connaissances entre les élèves.

Vous  annoncez aux élèves qu’ils vont apprendre à estimer des nombres ou des quantités.   Pour les uns,  même  à l’âge de huit ans, il s’agit d’un concept clair. Mais pour cet élève,  situé dans la moyenne,  cela s’est avéré  plutôt surprenant puisqu’il tentait d’associer  l’estimation des nombres  à ce que faisait sa grande sœur  lorsqu’elle «estimait» des hot-dogs,   c’est-à-dire,  lorsqu’elle cuisait des  hot-dogs à la vapeur (steam).

Chaque fois que nous abordons l’enseignement d’un concept, les élèves se constituent immédiatement des images mentales de ce que peut représenter ce concept. Plus le bagage de connaissances est important, plus il y a de possibilités que se développent des images mentales différentes d’un élève à un autre. Ces images sont parfois justes, mais parfois elles sont loin de ce dont nous avons besoin. Or, elles vont dorénavant, et pour un temps plus ou moins long, servir de guide à l’élève dans son nouvel apprentissage. Et puis, après une vingtaine de minutes, un élève s’exclamera : «Ah! C’est de cela dont tu parlais!». Vingt minutes de perdues!
En fait, lorsque nous travaillons un concept, les élèves voient souvent diverses associations possibles avec certaines de leurs connaissances antérieures. Certains vont alors choisir, un peu au hasard, celle qui les guidera alors que d’autres, les élèves qui réussissent plus facilement, verront eux aussi ces diverses possibilités mais prendront un certain recul afin de les passer en revue dans la perspective d’un apprentissage en mathématiques. Certains termes qu’ils connaissent bien et qui ont été utilisés lors de la présentation du problème vont leur être précieux. Bref, certaines connaissances antérieures adéquates vont contribuer à creuser un fossé entre les élèves. Ce fossé n’existe pas lorsqu’on évite de solliciter des éléments culturels mathématiques inconnus ou méconnus chez certains élèves.

3. Depuis plus de trente ans, nous voyons comment les parents, et souvent les enseignants répugnent à enseigner des techniques de calcul autres que celles qu’ils ont apprises à l’école. Ces techniques ne sont-elles pas les meilleures
puisqu’elles leur ont permis de se rendre là où ils sont?

Le problème ici, c’est qu’en France, la technique de soustraction n’est pas celle que nous utilisons au Canada. Pire, au Canada, francophones et anglophones utilisent deux techniques différentes de division. Le pire, c’est qu’en calcul mental, nous utilisons très souvent, pour la soustraction et l’addition, des techniques différentes de celles que nous avons apprises, celles du calcul écrit. Pensez-y, si vous remettez un billet de 20$ afin de régler une facture de 14,56$, combien doit-on vous remettre?  4¢, … 44¢, … 5,44$? Ou 5$ et … 44¢? Dans le deuxième cas, il s’agit d’un calcul «de gauche à droite». Si vous avez procédé de cette façon, ce qui est très fréquent,
que faites-vous de vos connaissances antérieures et scolaires? Ne répondez pas,
continuez à calculer de gauche à droite puisque vous avez probablement
développé cette excellente technique par vous-même, presqu’inconsciemment.

                                   Que faire?

Il n’y a aucun doute, en mathématiques, ce qui précède nous encourage à court-circuiter de nombreuses connaissances antérieures des élèves et ce, qu’elles soient valables ou non. Comment? D’abord en choisissant une thématique simple et suffisamment connue des élèves pour que ceux-ci en fassent leur véritable référence, celle qui les guidera pendant leur apprentissage du concept visé. Par exemple, il sera clair au début que le travail consistera à daller des planchers et que même si nous utiliserons le matériel de base dix, ce ne sera pas du matériel de base dix, mais des tuiles de formes et de dimensions différentes. Pas un mot sur la multiplication. Il faudra attendre que les élèves réussissent à faire avec aisance les dallages demandés avant d’amener le symbolisme et la terminologie de la fonction multiplicative. Les techniques de calcul seront alors introduites à titre de procès-verbal du travail de manipulation, chaque symbole étant associé étroitement à un des gestes posé lors des divers dallages. En agissant ainsi, les connaissances antérieures incorrectes seront remplacées par  des  éléments  qui seront valables si l’activité proposée aux élèves ressemble à ce qui s’est passé lorsque nos ancêtres ont découvert le concept mathématique qui est le sujet de l’apprentissage visé.

De plus, en jouant réellement à la cachette avec les connaissances antérieures, on aura permis aux élèves d’aborder cette activité d’apprentissage en aplanissant de nombreuses différences touchant à la fois les mathématiques et la culture générale. Il est fréquent alors de voir des élèves dits faibles réussir avec facilité les problèmes proposés. La motivation de ces élèves augmente ainsi que la confiance en leurs capacités d’apprentissage.

Donc, au moment de l’apprentissage d’un concept en mathématiques, ce n’est ni le temps de développer la culture générale, ni le temps de pallier aux insuffisances de l’enseignement du français. Par contre, lorsque le concept mathématique, ainsi que sa terminologie et son symbolisme, seront solidement installés, ce sera le temps de le revoir et de le consolider en l’utilisant dans certaines de ses applications réelles. Malheureusement, de plus en plus d’activités dites de consolidation, et souvent même d’apprentissage de base, n’ont rien de pertinent. Dans certains cas, le concept mathématique est utilisé de façon complètement farfelue. En guise d’exemple, il existe au Québec, une collection de manuels approuvés pour l’enseignement des mathématiques au premier cycle du primaire. Au moment de faire apprendre le groupement en base dix, on raconte aux élèves l’histoire d’un petit flocon de neige qui a hâte de tomber entre les mains des enfants qui jouent dehors. Or, afin de descendre plus rapidement, ce petit flocon, qui se trouve trop léger, décide de se lier à d’autres petits flocons, exactement à neuf autres petits flocons de neige. N’est-ce pas merveilleux! Voilà un petit flocon de neige qui, n’existant que depuis quelques minutes, sait compter jusqu’à dix. Que fera-t-il lorsqu’il ira à l’école? Peut-être apprendra-t-il l’effet de la chaleur des mains des enfants sur un petit flocon de neige ? Peut-être apprendra-t-il la loi de la chute des corps afin de l’enseigner à des auteurs qui en ont bien besoin?

Il est bien évident aussi que si les applications d’un concept déjà en place peuvent et doivent aider l’élève à élargir sa culture générale, au moment de l’évaluation en mathématiques, il faudra faire en sorte que certaines lacunes culturelles d’un élève ne nuisent pas à sa capacité de démontrer qu’il maîtrise le concept mathématique évalué. Mais peut-on parler de maîtrise si le concept n’est pas perçu dans une de ces applications? Espérons que ce soit le cas, sinon que penser de la maîtrise de la loi des signes chez les adultes qui ne la perçoivent pas dans la langue qu’ils utilisent tous les jours ou encore lorsqu’ils utilisent deux commutateurs électriques qui contrôlent une même ampoule? 

Robert Lyons