MATHADORE
    Volume 8 Numéro 273 –  30 mars 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

  Nouvelle séquence en fonction multiplicative

L’expression «fonction multiplicative» désigne tout ce qui touche la multiplication, la division, l’extraction de racines et la factorisation. Voici la séquence d’activités que nous utilisons avec les élèves à compter de sept ans. Elle est construite en prenant comme guide la complexification progressive des consignes à donner aux élèves au lieu de la complexification des algorithmes symboliques qui codifient ces constructions.

a) -Prenez :
                               
 
-Construisez un carré avec tout ce matériel.
-Quelle est la longueur du côté de ce carré ?

b) -Prenez :
               
 
-Construisez un rectangle avec tout ce matériel.
-La hauteur de ce rectangle sera la même que celle de 3 grands carrés et d’un petit
 carré.
-Quelle est la longueur de ce rectangle ?

c) -Prenez :
                       
 
-Fabriquez tous les rectangles possibles en utilisant chaque fois exactement ce 
 matériel.
-Quelle est la longueur et la largeur de chacun des rectangles trouvés ?

 
d) –Fabriquez un rectangle.
-Sa hauteur sera la même que celle de 2 grands carrés et de 3 petits carrés.
-Sa longueur sera la même que celle de 3 grands carrés et d’un petit carré.
-De quel matériel avez-vous besoin afin de construire exactement ce rectangle ?

Le problème (a) représente une extraction de racine carrée; en (b) il s’agit d’une division; en (c), c’est une factorisation et en (d), une multiplication.

Combien de fois avez-vous relu les consignes décrites en (a)? Et en (d) ? N’est-ce pas plus simple en (a) pour décrire l’extraction d’une racine carrée qu’en (d) afin de décrire une multiplication ?

En utilisant cette séquence, on constate qu’un autre facteur entre automatiquement en ligne de compte, un facteur qui démontre encore que (a) est plus facile que (d). En (a) l’élève sait quel matériel il doit prendre et il peut l’isoler du reste. En (b) il sait aussi quel matériel utiliser, mais la contrainte touchant la hauteur du rectangle pose problème à plusieurs au point que nous sommes souvent obligés de tracer un rectangle, ouvert sur un côté, lequel a exactement la hauteur exigée, et expliquer à l’élève qu’il doit trouver la longueur du rectangle qu’il peut daller avec le matériel décrit.
                                              
 
En (c), l’élève peut encore isoler le matériel à utiliser. Cette fois cependant il n’a aucune idée des dimensions des côtés et de l’aspect final du rectangle. Il devra souvent faire plusieurs tentatives avant de trouver un premier rectangle. En (a), il ne connaît pas la longueur d’au moins un côté, mais il connaît l’aspect général du dallage, un carré, et cela s’avère un guide précieux.

Enfin en (d), l’élève ignore tout au long de sa construction quel est l’ensemble du matériel dont il a besoin. Il perd ainsi un encadrement des plus utiles. De plus, les indications portant sur la longueur des côtés devant être retenues, les élèves utilisent souvent leur matériel afin de représenter ces côtés comme suit :
                                                  
 
Ce début de construction aide très peu plusieurs élèves qui ne savent pas comment continuer ou, s’ils le savent, ajoutent le matériel installé actuellement à celui qui représente l’aire du dallage à construire. Pour aider ces élèves, il faut habituellement tracer sur une feuille de papier le rectangle à daller. Bref, nous devons ajouter des éléments à une consigne déjà longue.

En résumé, on peut remettre en question la séquence traditionnelle d’enseignement des opérations arithmétiques puisque actuellement, il est clair que les élèves ont des besoins qui dépassent de loin la maîtrise de l’addition et de la soustraction sur les entiers positifs.
En effet, si au Moyen Âge la société s’accommodait très bien de travailleurs ne maîtrisant que l’addition et la soustraction sur les entiers, si au début du dernier siècle peu de gens étudiaient l’algèbre, laquelle était d’ailleurs interdite aux filles, de nos jours, les élèves doivent avoir des notions de calculs sur tous les types de nombres au moyen des diverses opérations. C’est donc actuellement en ayant cette vue d’ensemble que la séquence d’apprentissage doit être révisée. La séquence traditionnelle a été construite progressivement en fonction des besoins de plus en plus grands de la société. Cette séquence correspond aussi à l’évolution historique des techniques de calcul et de la découverte des divers types de nombres. Aujourd’hui, sachant que, de toute façon, les élèves doivent avoir des notions touchant tous les types de nombres et au moins un algorithme pour chaque opération, nous pouvons considérer d’autres séquences possibles et fort différentes de la séquence traditionnelle.

La séquence décrite plus haut est donc construite à partir de l’augmentation de la complexification des consignes à donner aux élèves. Dans un apprentissage constructiviste, l’élève doit construire lui-même ses techniques de calcul. Or si nous ne tenons pas compte de cette augmentation progressive de la complexité des consignes, ses chances de succès sont largement diminuées. Pour cette raison, lorsque la séquence traditionnelle est utilisée, il est peu valable de comparer les succès des élèves à ceux obtenus en enseignement explicite puisque, dans ce dernier cas, explications et exercices pallient aux difficultés des élèves, en partie du moins. On comprendra que si le nouveau programme du Québec prescrit l’enseignement constructiviste dans ses principes, la séquence d’introduction de plusieurs notions, prescrite également par ce programme, ne respecte pas la «prescription de principes». L’absence totale, ou presque, d’expérience des auteurs du programme de mathématiques en enseignement constructiviste ne pouvait mener ailleurs qu’à cette flagrante contradiction.

Mais d’autres avantages résident dans l’utilisation de la séquence construite à partir de la complexification des consignes… la semaine prochaine !

Robert Lyons