MATHADORE
    Volume 8 Numéro 272 –  23 mars 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

        L’outil le plus simple pour apprendre la multiplication

Les deux Mathadore précédents nous ont permis d’exposer quelques activités qui réussissent toujours à donner de l’espoir aux élèves en difficultés. On s’étonnera sans doute du choix des activités, après tout, factoriser ou extraire la racine carrée de trinômes algébriques, c’est du grand sport.

En fait, la séquence notionnelle utilisée dans les écoles afin d’enseigner les opérations est construite en tenant compte de l’augmentation des difficultés que représentent les techniques symboliques de calcul. Ainsi, l’addition sans retenue précède celle avec retenue, la soustraction avec emprunt suit la soustraction sans emprunt. On utilisera d’abord ces algorithmes sur les entiers positifs, ensuite sur les fractions, ensuite sur les entiers relatifs (positifs et négatifs) et enfin en algèbre. N’est-il pas surprenant de voir apparaître l’algèbre à la fin alors qu’en algèbre l’addition a + b = a + b ou la soustraction a – b = a – b  est  certainement  plus  facile  que  7 + 5 = 12  ou            7 – 5 = 2 ? Additionner 3x + 5y = 3x + 5y n’est-il pas plus simple que 
                                                  
Soustraire 7x – 9x = –2x n’est-il pas plus simple que 17 – 9 = 8 ?

En fonction multiplicative, qu’est-ce qui est le plus simple ?

              3a + 2b                                           32
          × 4a + 5b                                     ×    45
           15ab +10b²                                     160
12a² +  8ab                                               128 
12a² +23ab +10b²                                     1440

Pour réussir la seconde multiplication il faut :

a) Multiplier 2 unités × 5 unités = 10 unités
b) Transformer ces 10 unités en 1 dizaine
c) Multiplier 5 unités × 3 dizaines = 15 dizaines
d) Transformer 10 de ces dizaines en 1 centaine
e) Multiplier 4 dizaines × 2 unités = 8 dizaines
f) Ajouter la dizaine obtenue en (b) aux 5 dizaines restantes en (c) et aux 8 dizaines obtenues en (e) : 1 dizaine + 5 dizaines + 8 dizaines = 14 dizaines.
g) Transformer 10 de ces dizaines en 1 centaine.
h) Multiplier 4 dizaines × 3 dizaines = 12 centaines.
i) Transformer 10 de ces centaines en 1 unité de mille.
j) Ajouter la centaine obtenue en (g) à celle obtenue en (d) et aux 2 centaines restantes en (h) : 1 centaine + 1 centaine + 2 centaines = 4 centaines.
k) Ajouter l’unité de mille. La réponse est formée des nombres obtenus en (k) 1000, en (j) 400, en (j) et (g) 40 et en (a) et (b) 0 : 1000 + 400 + 40 + 0 = 1440.

Et maintenant, en algèbre. D’abord, vous pouvez commencer à gauche ou à droite, cela n’a aucune importance puisque vous n’aurez jamais à transformer des a² en ab ou des b² en ab,…

a) Multiplier 2b × 5b = 10b²
b) Multiplier 3a × 5b = 15ab
c) Multiplier 2b × 4a = 8ab
d) Additionner 15ab + 8ab = 23ab
e) Multiplier 3a × 4a = 12a²
f) Ajouter ce qui a été obtenu en (a), (d) et (e) :
      10b² +23ab +12a² ou 12a² +23ab + 10b².

C’est tout !

En fait, la séquence scolaire habituelle a été construite selon les besoins des gens. C’est ainsi que la multiplication sur les entiers positifs ayant été, de tout temps, beaucoup plus utilisée que celle sur les fractions ou sur les nombres algébriques, afin de satisfaire ces besoins, elle a été enseignée d’abord. Pendant plusieurs décennies, elle a été le seul type de multiplication enseignée.

Donc les besoins ont guidé la construction de la séquence d’apprentissage. La complexité des techniques symboliques a été l’autre guide. Ainsi l’addition et la soustraction ont précédé la multiplication puisque la technique habituelle de multiplication exige que l’on fasse des additions et des soustractions. Évidemment l’extraction de la racine carrée est venue à la fin puisqu’elle exige l’utilisation de la multiplication.

Il existe une autre façon de construire une séquence d’enseignement. Elle consiste à ordonner les activités en fonction de la complexité des consignes à donner aux élèves afin qu’ils puissent résoudre les problèmes proposés. Nous ne sommes plus au Moyen Âge, époque durant laquelle les additions et les soustractions de nombres entiers étaient les seules opérations effectuées par probablement 90% de la population et ce, durant toute leur vie. De nos jours, même si l’élève ne complète qu’un cours secondaire, il devra effectuer les quatre opérations de base sur les entiers positifs comme négatifs, sur les fractions et sur les nombres algébriques. De plus, en dehors de l’école, nous avons besoin de maîtriser plus que l’addition et la soustraction d’entiers positifs. Il y a donc lieu de modifier la structure de la séquence d’enseignement.

Robert Lyons

La semaine prochaine : une nouvelle séquence pour la fonction multiplicative.