MATHADORE
    Volume 8 Numéro 268 –  17 février 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 La numération (4)

 Les élèves effectuent désormais des groupements en dizaines. S’ils sont opératoires concrets et s’ils ont bien perçu le rôle du groupement, lequel facilite le dénombrement, ils comptent désormais par dix ou comptent le nombre de dizaines d’un ensemble avant de multiplier ce nombre par dix et d’ajouter les unités non regroupées. Il est temps de passer à l’écriture des nombres. Certes, ils ont déjà vu ces nombres sous forme écrite, mais certaines confusions existent souvent avec les nombres de 11 à 16 et de 70 à 99. Plus tard, cent deux et deux cents seront parfois confondus. Il faut utiliser le groupement afin de régler, ou d’éviter, ces difficultés.

Les élèves devront désormais jouer avec les nombres en les décrivant non pas en disant trente-huit, mais trois dizaines et huit unités que l’on notera sous la forme 3 dizaines + 8 unités, ensuite 3 diz. + 8 un. On leur proposera quelques exercices tels :

a) 3 diz. + 4 diz. + 2 un. + 1 un. = _______
b) 5 un. + 6 diz. + 2 diz. + 4 un. = _______ diz. + _______ un.
c) 6 un. + 8 diz. – 5 diz. – 2 un. = _______ diz. + _______ un.
d) 7 un. – 4 diz. + 6 diz. – 3 un. = _______ diz. + _______ un.

Ce qui précède mets l’accent sur l’importance d’additionner ou soustraire des quantités de même ordre (unités ou dizaines) entre elles. L’élève qui réussit ces exercices comprendra pourquoi, dans les algorithmes d’addition et de soustraction, on place les unités sous les unités et les dizaines sous les dizaines.

                           14                   14
                       +   5      et non + 5_

Cette compréhension lui évitera de commettre des erreurs telle,   14
                                                                                              +   5
                                                                                                  69
dans laquelle le 5 sert comme unités et comme dizaines.

Plus tard, il comprendra plus facilement que, pour résoudre 3,14 + 2,5 il faut additionner le 3 avec le 2, le 1 avec le 5 et le 4 avec 0 et non aligner les nombres à partir de la droite pour obtenir 3,39 ou 33,9.

La décomposition des nombres, telle que décrite plus haut, est fort importante afin de comprendre les divers algorithmes d’addition et de soustraction, mais ce n’est pas tout. Il est temps de contracter la forme x diz. + y un. afin d’obtenir des nombres à deux chiffres. On commencera donc à écrire, par exemple, 35 afin de remplacer 3 diz. + 5 un. On commencera aussi à associer ces nombres à la numération orale : 35, c’est trente-cinq.

Le prochain obstacle : les nombres au-delà de soixante-neuf. C’est une difficulté qui provient de la terminologie orale utilisée en français pour désigner les nombres. Cette difficulté n’existe pas en anglais et dans les pays francophones où soixante-dix est dit septante, quatre-vingts, octante et quatre-vingt-dix est nonante. Serait-il préférable de changer notre façon de dire les nombres ? Pas du tout ! L’élève qui écrit 610 (soixante-dix) au lieu de 70 ou 420 (quatre-vingts) au lieu de 80 nous montre qu’il ne comprend pas la valeur de position ou qu’il se fie davantage aux noms des nombres qu’à la compréhension de la structure positionnelle de la numération. Notre façon de dire les nombres trahit cette incompréhension et nous pouvons agir. La même incompréhension existe en anglais, mais elle se manifestera plus tard et autrement. Mieux vaut régler cela tout de suite. 

Demandez aux élèves de former un ensemble de soixante jetons. Notez 60. Demandez-leur d’ajouter quinze jetons à cet ensemble. Notez 60 + 15. Demandez-leur combien ils ont maintenant de jetons. Ce qu’ils ont appris précédemment les pousse à additionner les unités avec les unités, les dizaines avec les dizaines, mais pas nécessairement dans cet ordre, ce qui n’est pas un problème et n’en sera pas un plus tard non plus. Ils obtiennent donc 75 qu’ils peuvent décrire en disant sept dizaines et cinq unités. Il reste à leur mentionner que les mathématiciens désignent ce nombre par l’expression «soixante-quinze». Ils feront le lien avec 60 + 15.

Pour quatre-vingts, on leur demandera de former un ensemble de vingt jetons, puis un second, un troisième et enfin un quatrième. Qu’ont-ils maintenant ? Quatre paquets de vingt ou huit dizaines ou 80. Pourquoi ce 80, lequel contient quatre paquets de vingt, se dit-il «quatre-vingts»? La réponse est plutôt évidente.

Terminons en mentionnant que la numération positionnelle constitue une représentation contractée au maximum d’une série d’additions et de multiplications. Ainsi, 3 × 100 + 4 × 10 + 5 = 345. La distinction entre le sens de la multiplication et celui de l’addition est donc nécessaire afin de comprendre vraiment la numération positionnelle qui se sert de chaque position afin de «cacher» une multiplication. Sans cette distinction, comment ne pas confondre quatre-vingts et vingt-quatre ou cent deux et deux cents ? Un code peu connu mais sans exceptions se cache dans la numération orale. Lorsque deux mots se suivent dans un nombre, si le premier représente une quantité plus petite que le second, c’est une multiplication : quatre cents 4 < 100 alors 4 × 100; quatre-vingts 4 < 20 alors    4 × 20. Par contre, si le premier terme représente une quantité plus grande que le second terme, c’est une addition : vingt-quatre 20 > 4 alors 20 + 4; cent trois 100 > 3 alors 100 + 3. Donc trois cent quatre-vingt-dix-huit : 3 < 100 : 3 × 100 = 300
                                               100 > 4 : 300 + (4…)
                                               4 < 20 : 300 + 4 × 20 = 380
                                               20 > 10 : 300 + 4 × 20 + 10 = 390
                                               10 > 8 : 300 + 4 × 20 + 10 + 8 = 398
Robert Lyons