MATHADORE
    Volume 8 Numéro 267 –  10 février 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 La numération (3)

Tel que décrit dans les deux numéros précédents de Mathadore, L’élève doit être opératoire pour pouvoir comprendre ce que représente techniquement le regroupement en dizaines. Représente techniquement dans le sens de comprendre que les unités regroupées en dizaines demeurent des unités.

Au-delà de la compréhension technique il y a la pertinence. Quel est le rôle du groupement en dizaines ? Il y a quelques années déjà, lorsqu’en première année ma fille fut initiée à la représentation du nombre dix au moyen de deux chiffres, elle me dit :

              «J’ai deux questions pour toi, ne t’inquiète pas c’est en  
               mathématiques. 
              Pourquoi rendu à dix faut-il prendre deux chiffres ? Pourquoi
              est-ce que ça prend deux vieux chiffres ? Je pense que les 
              mathématiciens manquent d’imagination, moi j’aurais pu 
              inventer d’autres chiffres.»

Et vlan ! L’absence de pertinence présentée par une élève de six ans. Il ne faut surtout par croire qu’elle est la seule à se poser de telles questions en mathématiques… même si elle est MA fille.

L’usage veut que les élèves apprennent la numération écrite de 0 à 100 par tranches de dix. La première tranche s’arrête donc à 9, la seconde à 19… Parfois ces tranches s’arrêtent à 10, 20, 30… ce qui est ridicule puisque le saut consiste à passer à une nouvelle dizaine.  Oralement, cela est très clair, les enfants comptent 37, 38, 39… et s’arrêtent. Vous les faites redémarrer en disant quarante.

Donc, idéalement les élèves maîtrisent d’abord la conservation du nombre et les nombres de 0 à 9. En passant un nombre peut s’écrire avec un ou plusieurs chiffres, ainsi le 5 est un nombre à un chiffre comme «a» est un mot d’une seule lettre. Il faut maintenant qu’ils abordent le groupement. Le problème est, qu’après  la tranche de 0 à 9, la tranche de 10 à 19 ne permet nullement de comprendre l’importance et le rôle du groupement.

Imaginez que vous ayez devant vous une quinzaine de jetons et que vous voulez les dénombrer. Allez-vous en compter dix et faire un paquet avant de dénombrer les cinq jetons restants ? Certainement pas ! Vous allez les compter par un ou par deux en isolant les jetons dénombrés des autres. Pourquoi n’avez-vous pas utilisé le groupement en dizaines ? Allez-vous l’utiliser s’il y a une vingtaine de jetons à dénombrer ? Une trentaine ? Une cinquantaine ?

Il y a de fortes chances pour que ce soit avec des ensembles d’au moins une trentaine de jetons que vous sentiez le besoin de les regrouper en dizaines. D’abord, il y en a vraiment beaucoup et vous sentez le besoin de mettre un minimum d’ordre. En effet, une distraction peut survenir et vous obliger à tout refaire ou à moins que vous sentiez le besoin de vérifier. Or, lorsqu’il faut dénombrer quelques objets, la limite se situe entre trente et cinquante, il est plus rapide de tout recompter plutôt que de faire des paquets. Par contre, au-delà de cette limite, le groupement est avantageux.

Donc, après la séquence de 0 à 9, il faut proposer le dénombrement d’au moins une cinquantaine d’éléments. Il ne faut pas se gêner, lors de ce travail, pour déranger les élèves. Vous pouvez, par exemple, leur demander de faire attention à un détail quelconque, même sans rapport avec leur travail immédiat. En passant près d’eux, montrez-leur un jeton que vous ferez semblant d’avoir pris près de leur pupitre, ou encore, demandez-leur si un jeton, qui est sur leur pupitre, a été dénombré. Bref, faites-leur sentir le besoin de regrouper en essayant de leur faire faire une erreur.

Ce besoin de regrouper les place dans une situation telle qu’ils peuvent désormais inventer le groupement et ils choisiront la dizaine à cause de leurs expériences passées en dénombrement oral. En effet, pour réciter la suite des nombres, ils ont rapidement appris à mémoriser 1, 2…9, puis 1 à 19 et ensuite 20, 30… qu’ils n’ont qu’à faire suivre des termes de la première suite 1… 9.

Mais qu’en est-il du temps nécessaire avant que les élèves réinventent ce que l’humanité a mis des millénaires à construire ? En fait, une invention provient d’une idée originale, d’une sorte d’éclair de génie. Cela ne prend que quelques secondes. La personne qui a eu cette idée percevait bien le problème à résoudre, pouvait essayer diverses idées et les valider elle-même.

Quel est le besoin que ressent l’élève qui doit dénombrer une douzaine d’objets ? Celui de mettre de l’ordre en isolant dix jetons ? Jamais ! Nous avons alors deux choix : imposer l’idée de groupement ou augmenter les quantités jusqu’au moment où l’élève ressente le besoin de grouper.

Est-ce économique du point de vue du temps d’apprentissage ? Avouons que les élèves peuvent avoir l’idée de regrouper qu’après avoir eu à faire face à de grands dénombrements à trois ou quatre reprises. Or, puisqu’il leur faut du temps afin de bien ressentir le problème, de vouloir s’en sortir et de générer des idées de solution, il y a lieu d’espacer de trois ou quatre jours les activités de dénombrement. Bref, il peut leur falloir deux ou trois semaines avant d’y parvenir. Mais alors, ce sera réglé à vie car, ce qu’ils ont pu inventer une fois, ils peuvent le refaire facilement par la suite.

Trois semaines, c’est plus long que les quelques minutes qu’il faut pour expliquer le concept aux élèves. Mais, en considérant le temps utilisé afin de consolider le concept imposé, temps inutile lorsqu’un élève a inventé le concept, déjà le temps investi dans la stratégie d’apprentissage par la découverte touche ou s’approche de la rentabilité.

Si cela ne suffit pas, il faut évaluer les élèves deux ou trois mois plus tard afin de voir ce qui reste. Mieux encore, il faut l’année suivante, le vérifier auprès des enseignants qui reçoivent ces élèves.

Saviez-vous, qu’en mathématiques, plus des deux tiers du programme d’une année est refait l’année suivante ? Et souvent, pour une bonne partie de ce qui reste, nous manquons de temps. Or en enseignement, ce dont nous disposons en surabondance, c’est le temps. À six ans, les élèves doivent résoudre 3 + ___ = 5, à douze ou treize ans, ils en seront à 3 + x = 5.

Il faut que nous cessions d’enseigner comme si le prochain mois de juin marquait la fin des temps.

Robert Lyons