MATHADORE
    Volume 8 Numéro 264 –  20 janvier 2008
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

        L’apprentissage des tables (2)

Plutôt que de n’utiliser que la mémoire dans le but d’apprendre les tables, il faut que le raisonnement et l’imagination viennent contribuer à cet apprentissage.

Le raisonnement sollicité.

Les élèves apprennent plus facilement les doublons : 7 + 7, 9 + 9, 6 × 6, 8 × 8… que les combinaisons de deux nombres différents. On constate aussi que de nombreux élèves, qui savent que 7 + 7 = 14 et que 8 + 8 = 16, avouent ignorer la valeur de 7 + 8. Il y a là une preuve évidente qui montre qu’ils n’utilisent que leur mémoire et laissent de côté le raisonnement.

Plus tard, lorsqu’ils devront effectuer 400 – 128, si les zéros leur posent des difficultés, ils ne penseront pas à remplacer 400 – 128 par 399 – (128 – 1) ou par 399 – 127. De la même façon, en multiplication, l’élève qui ignore ce que représente 8 × 9 tout en sachant que 4 × 9 = 36 devrait penser que 4 × 9 est la moitié de 8 × 9 et multiplier 36 par 2 pour obtenir 72. S’il a des difficultés avec 5 × 8, il pourrait le remplacer par 10 × 4 en doublant le 5 et en divisant le 8 par 2. Cette stratégie lui sera très utile lorsque, plus tard, il devra effectuer mentalement ou par écrit des multiplications telle 35 × 42, laquelle sera remplacée par 70 × 21 puisque 35 × 42 = 35  × 2 × 21 = 70 × 21.

En fait, le calcul efficace sur les grands nombres est réalisé grâce à diverses transformations des nombres du problème original. Ces transformations sont beaucoup plus faciles à comprendre et à percevoir lorsque les nombres sont petits. Cette habileté acquise sur les petits nombres, ceux que l’on retrouve lors de l’apprentissage des tables, est transférable au calcul sur les grands nombres. Mais si cette perception et cette souplesse ne sont pas développées au moment de l’apprentissage des tables, elles risquent de ne pas être utilisées plus tard, ce qui rendra les calculs rigides et moins efficaces.

Voici donc comment s’y prendre. Mentionnez aux élèves que 7 + 8 = 15 et demandez-leur de le trouver ou de le démontrer en utilisant d’autres calculs, 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15 par exemple. En soustraction 13 – 5 = 8, devient 10 – 5 + 3 = 5 + 3 = 8 ou,   puisque        5 = 3 + 2, 13 – 3 = 10 et ensuite 10 – 2 = 8 en résumé 13 – 3 – 2 = 8.  En multiplication : 6 × 7 = 6 × 6 + 6 = 36 + 6 = 42 ou 6 × 7 = 2 × 3 × 7 = 2 × 21 = 42.    
En division : 48 ÷ 6 = 24 ÷ 3 = 8 ; 35 ÷5 = 70 ÷ 10 = 7.

De telles décompositions tiennent compte des propriétés des opérations, donc elles permettent à l’élève de se familiariser avec ces propriétés dans un contexte bien réel. Beaucoup plus important est le fait qu’elles développent chez l’élève une perception selon laquelle le calcul est une activité pleine de souplesse durant laquelle un obstacle difficile à franchir peut être contourné.

L’imagination sollicitée.

Nos facultés analogiques, entre autres la créativité, l’imagination, l’humour et l’esprit de synthèse sont très puissantes et fonctionnent de façon moins aride que les facultés logiques qui exigent une bonne concentration. 

Alors que les facultés logiques nous permettent d’apprendre à trouver le pluriel de plusieurs mots en suivant la règle : «il suffit d’ajouter un s», nos facultés analogiques associeront entre eux divers mots ne respectant pas cette règle sous un énoncé semblable à une chansonnette (bijou, caillou, chou, genou, …) ou qui rappelle une image ou un court scénario (Mais ou est donc carni(v)or).

Voici une activité qui peut aider l’élève à mémoriser certaines combinaisons plus difficiles. Dans un premier temps, il faut associer chaque chiffre à une consonne en essayant d’établir un lien entre le chiffre et la consonne. Voici une possibilité :
1 : un        2 : deux       3 : trois       4 : quatre      5 : V  (le chiffre romain)   6 : six
7 : sept      8 : b … ce chiffre ressemble à un B     9 : neuf      et  m pour 0 car il indique qu’il manque quelque chose. 

Ces consonnes vont servir à associer les nombres à des images, à des scénarios. L’effort nécessaire afin de mémoriser quelle lettre représente un chiffre ainsi que le travail nécessaire afin d’imaginer les images ou les scénarios nécessiteront du temps, mais ce travail permettra déjà de mémoriser les tables. D’autre part, à plus long terme, le même truc peut servir à se souvenir d’un numéro de téléphone, d’une adresse, de votre numéro d’assurance sociale, … Bref, vous faciliterez ainsi l’apprentissage des combinaisons des tables de multiplication qui sont les plus difficiles, mais vous doterez vos élèves d’un outil précieux pouvant faciliter la mémorisation.

L’étape suivante consiste donc à imaginer les scénarios. Si vous êtes une artiste, chaque scénario peut être représenté par une image commentée par l’élève en utilisant la phrase associée à la multiplication à mémoriser.

Voici quelques associations que nous avons imaginées sans avoir eu la chance cependant de les expérimenter.

6 × 7 = 42 : Serin Perdu Reviendra Demain.
6 × 8 = 48 : Une Souris Blanche Rêve d’être un Bœuf.
6 × 9 = 54 : Sur la Ferme les Vaches Rigolent.
7 × 7 = 49 : Le Serpent Siffle en Recherchant un Frère.
7 × 8 = 56 : Les Pirates Bataillent et leur Vaisseau Sombre.
7 × 9 = 63 : Une Petite Fleur Sous une Tente.
8 × 8 = 64 : Un Beau Bazou Sur la Route.
8 × 9 = 72 : Une Balle Frappée Par-Dessus la clôture.
9 × 9 = 81 : Une Faible Fourmi Bâtit un Nid.

Ainsi, après avoir mémorisé à quel lettre associer chaque chiffre, l’élève n’a plus qu’à mémoriser et à visualiser les phrases précédentes qui lui rappelleront les multiplications sur lesquelles il hésite. Par exemple, s’il confond les produits de 6 × 9 et de 7 × 8, la mémorisation de «Les pirates bataillent et leur vaisseau sombre.» est suffisante car il pourra ainsi décoder cette phrase et trouver que 7 × 8 = 56 et conclure qu’en conséquence 6 × 9 = 54. 

Ce truc est excellent, il est utilisé par de nombreuses personnes reconnues comme ayant une excellente mémoire. Nous en avons fait l’expérience personnellement lorsque, durant nos études, nous avons voulu mémoriser les cent premières décimales du nombre ¶ (pi). D’accord, c’est une connaissance parfaitement inutile, mais les décimales du nombre ¶ sont justement celles que l’on utilise le plus afin de tester sa mémoire car il n’existe aucune régularité entre elles. Il a fallu environ deux ou trois heures afin de rédiger les phrases qui représentaient chaque fois dix décimales. Contrairement aux exemples donnés ci-haut dans lesquels un mot ne représente qu’un chiffre, les mots choisis étaient associés à deux chiffres. Les consonnes représentant chaque chiffre étaient aussi différentes. Ainsi p remplaçait le chiffre 1, m le chiffre 4, l, le chiffre 5, … le mot pomme évoquait le nombre 14, le mot pelle signifiait donc 15. La première histoire commençait ainsi, «J’ai pris une pelle afin d’aller cueillir des pommes …» en décodant, on trouve donc 1415 comme premières décimales du nombre ¶ (pi).

En moins de vingt minutes, les histoires étaient mémorisées et nous avons pu ainsi nous rappeler la liste des cent premières décimales de ¶ (pi) pendant de nombreuses années.

Bref, l’apprentissage des tables doit d’abord être pertinent. Dans ce but, il dépend des techniques de calcul utilisées par l’élève. Il ne doit donc pas précéder l’apprentissage des techniques de calcul. Ces techniques deviennent elles-mêmes pertinentes après la compréhension par l’élève du sens des opérations. L’apprentissage des tables constitue un moment privilégié afin de faire percevoir aux élèves la souplesse de l’arithmétique et du calcul. Cela est rendu possible lorsque l’élève construit ses tables ou les démontre en trouvant la valeur de 7 + 8 à partir d’une somme connue, par exemple 7 + 10 = 17 donc 17 – 2 = 15 tout comme 7 + 8. C’est l’approche logique. L’approche analogique utilise plutôt des images mentales tel que décrit plus haut. Ces deux approches permettent à l’élève de développer des stratégies d’apprentissage peu connues mais fort utiles.

Et si tout ce qui précède semble conduire à un apprentissage plus lent, rappelez-vous que l’apprentissage est un marathon et non un sprint.
 

Robert Lyons