MATHADORE
    Volume 8 Numéro 261 – 1er décembre  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                   Les termes manquants

Depuis un peu plus de trente années, nous nous intéressons aux difficultés d’apprentissage en mathématiques. Cette semaine, nous abordons une série d’articles sur les difficultés les plus connues. Nous en verrons les causes les plus vraisemblables et les façons de mettre fin à ces difficultés. Règle générale, les difficultés les plus fréquentes et les plus tenaces sont faciles à comprendre lorsqu’on regarde le programme d’études et les manuels des élèves. Ce que l’on remarque est que les élèves apprennent et intègrent des notions qui, même si elles ne s’appliquent qu’à certains aspects du concept étudié, sont présentées comme définition du concept lui-même.

Voici un exemple bien connu des enseignantes qui travaillent avec les élèves de six à neuf ans, il s’agit de ce que nous appelons les termes manquants.

La majorité des programmes et manuels présentent les additions et les soustractions avec ou sans terme manquant selon la séquence qui suit, laquelle s’étire sur près de deux années scolaires, soit de la première à la troisième année du primaire.

1. 4 + 2 = ___

2. 6 – 1 = ___

3. 3 + ___ = 5 et ___ + 4 = 5

4. 6 – ___ = 2

5. ___ – 3 = 4 et ___ – 4 = 3

Tout ce qui précède est repris au début du secondaire sous la forme 3 + x = 5, x + 4 = 7,… Il est sans doute étonnant de remarquer le nombre élevé d’élèves de treize ans qui n’établissent aucun lien entre 3 + ___ = 5 et 3 + x = 5. Lorsqu’ils en sont informés, ils sont estomaqués.

Revenons à la séquence et voyons les erreurs fréquentes ainsi que les « lois » qui, cette fois, seront rarement enseignées mais construites par les élèves à notre insu.

 
2. 6 – 1 = _7_

 
L’élève prolonge ce qu’il faisait avec une addition telle 4 + 2 = ___. Cette erreur ne dure pas car l’élève apprend qu’il lui faut bien observer le signe (+ ou –), lequel lui dit ce qu’il faut faire. Cette règle, nous l’enseignons. L’absence de compréhension en fera un truc qui coûtera cher à l’étape suivante.

3. 3 + _8_ = 5 et _9_ + 4 = 5

L’élève a appris à observer le signe et à réagir en conséquence : un +, il faut additionner et placer la réponse dans l’espace vide, un –, il faut soustraire et placer aussi la réponse dans l’espace vide. Donc 3 + ___ = 5 devient 3 + _8_ = 5.

4. 6 –  _8_ = 2

Cette fois, les élèves hésitent. S’agit-il d’un vrai « moins » comme ils ont connu lorsqu’on leur proposait de résoudre 5 – 2 = ___ ? Ou est-ce un faux « moins » puisqu’il existe de faux « plus » dans 3 + ___ = 5 où, malgré le +, il faut soustraire 
5 – 3 pour trouver le nombre manquant ?

Cette difficulté sera la moins persistante car les élèves constatent que les « – » sont plus fiables que les « + » et qu’il leur faut vraiment soustraire. Alors pour  
 6 –  ___ = 2, ils effectuent 6 – 2 = 4 et posent le 4 dans l’espace vide. Coup de chance !

5. _1_ – 3 = 4 et _1_ – 4 = 3

Cette fois, les élèves terminent leur seconde année de scolarité ou en sont à leur troisième année. Ils ont débuté l’apprentissage des égalités depuis plus de dix-huit mois. Chaque difficulté les a conduits, la plupart du temps sans aide, à élaborer des « lois » qui leur permettent de résoudre toutes  les égalités qui leur ont été proposées depuis le début de leur apprentissage. La dernière de ces lois est la suivante : Lorsque l’espace vide est situé après le symbole d’égalité, il faut faire ce que le signe demande : un + on additionne, un – on soustrait, 4 + 3 = ___,        6 – 2 = ___. Par contre, si l’espace vide est situé à gauche du signe d’égalité, pour éviter toute confusion, mieux vaut ne pas regarder le signe car il suffit de soustraire : ___ + 3 = 5 ; 3 + ___ = 4 ; 6 – ___ = 2. Cette « loi » les servira bien pendant plusieurs mois jusqu’à ce qu’ils doivent compléter   ___ – 2 = 5 ou encore ___ – 5 = 2.

Même si au cours de leur troisième année de scolarité les élèves réussissent habituellement à compléter correctement toutes les égalités qui précèdent, il ne faut pas croire qu’ils ont compris. En fait, l’apprentissage des tables d’additions et de soustractions leur permet de donner les bonnes réponses et leur permet également de croire que le problème est réglé.

Il n’en est rien et il suffit de leur proposer des égalités contenant des nombres plus grands afin de revoir les mêmes erreurs revenir. Les élèves disent alors qu’ils ne savent jamais s’il faut qu’ils additionnent ou qu’ils effectuent une soustraction. Ce ne sera pas la seule fois d’ailleurs que la mémorisation des tables trop tôt, dans la séquence d’apprentissage, sera plus nuisible qu’utile.

Et puis, quatre années plus tard ils auront des difficultés avec 3 + x = 5 tout en étant capables de résoudre sans hésitation 3 + ___ = 5. Qu’ont-ils compris au juste ? Peut-on parler d’apprentissage signifiant ?

Une chose cependant ressort de ce qui précède, des élèves parviennent à élaborer sans aide et à notre insu des lois qui sont valables si on ne tient compte que de ce qui leur a été soumis. Mieux encore, chaque fois que de nouveaux cas, qui ne respectent pas la règle construite, sont introduits, ils remanient cette règle afin d’en tenir compte. Voilà une excellente raison pour croire qu’en mathématiques, au moins, le constructivisme peut fonctionner.

On répondra qu’il n’y a que quelques élèves qui réussissent à construire de telles règles, ce n’est pas évident puisque les erreurs mentionnées sont présentes chez presque tous les élèves qui ne réussissent pas à compléter correctement les équations proposées. Et quels sont les élèves qui élaborent ces règles temporairement correctes ? Les élèves que l’on dit en difficulté !
 

Robert Lyons

La semaine prochaine : Comment éviter ces erreurs.