MATHADORE
    Volume 8 Numéro 256 – 28 octobre  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 Résolution de problèmes (2)

Dans Mathadore255  il a été question de la formulation même des problèmes comme source de difficultés chez les élèves. Cette semaine nous verrons les difficultés qui peuvent survenir lorsque, ayant compris le sens et les données d’un problème, nous tentons de le solutionner.

D’abord, une question à votre intention. Lorsque vous avez un bon problème à résoudre, un problème de n’importe quel type, mathématique ou non, quand vous vient-il l’idée d’une voie de solution possible ? Pensez-y quelques secondes.

À l’école, il existe une méthode, en fait un plan de travail, dont l’objectif est d’aider l’élève à résoudre ses problèmes. Ce plan ressemble habituellement à ce que Polya propose dans son volume Comment poser et résoudre un problème, Dunos, 1965, 240 pages. Voici ce plan.

1. Comprendre le problème
2. Concevoir un plan
3. Mettre le plan à exécution
4. Examiner la solution obtenue

La première étape de ce plan est très analytique, trop analytique. On se demande : Quelle est l’inconnue ? Quelles sont les données ? Quelle est la condition ? Est-elle suffisante pour déterminer l’inconnue ? Insuffisante ? Redondante ? Contradictoire ? On demande de dessiner une figure, d’introduire la notation appropriée,…

Bref, on va beaucoup plus loin que de comprendre les grandes lignes du problème, on scrute les détails et on amorce même sa résolution.

C’est pousser trop loin ! La phase de compréhension du problème a pour but de donner une vision globale du type de problème qui doit être résolu. Il ne faut pas trop « s’approcher » des détails particuliers de ce problème, lesquels peuvent entraver le travail de créativité de la phase suivante.

La deuxième étape du processus de Polya est alimentée par de nouvelles questions :

- Connaissez-vous un théorème qui puisse être utile ?
- Regardez bien l’inconnue et essayez de penser à un problème qui vous soit familier et qui ait la même inconnue ou une inconnue similaire.
- Vous êtes-vous servi de toutes les données ? Vous êtes-vous servi de la condition toute entière ?
- Avez-vous tenu compte de toutes les notions essentielles que comportait le problème ?

Cette seconde étape du plan de Polya est encore trop analytique. Certaines questions sont cependant intéressantes et appartiennent à la seconde étape d’une résolution de problème :

- Avez-vous déjà rencontré un problème qui s’y rattache ?
- Pourriez-vous imaginer un problème qui s’y rattache et qui soit plus accessible ?
- Pourriez-vous résoudre une partie du problème ?

Dans votre vie, lorsqu’un problème vous tracasse, ne vous arrive-t-il pas souvent de penser soudainement à une voie de solution alors que vous ne pensiez pas à votre problème ? Au réveil par exemple ?

Après avoir compris un problème, il faut se lancer dans un remue-méninge qui sollicite toute notre créativité. Point de censure, elle tue la créativité ! Il faut laisser les idées défiler, accepter les associations qui semblent bizarres ou sans rapport autant que celles qui semblent pertinentes. Après tout, une façon de résoudre un problème consiste à proposer une solution qui semble absurde et à tenter de démontrer cette absurdité.

À cette étape, chaque détail d’un énoncé de problème peut servir de censure et bloquer la créativité. Il en résulte que certaines idées de solution sont mises de côté à cause d’une de ces données. Peut-être que cette idée peut être légèrement modifiée et…

De nombreux élèves sont en difficulté lors de cette étape de la résolution d’un problème. L’élève type manque de créativité, il requiert un encadrement, une ligne de conduite. Ces élèves échouent en compréhension de texte en français et en résolution de problèmes divers. Leurs difficultés sont ici le prolongement de celles qu’ils ont au moment de comprendre le problème, c’est-à-dire de se donner une image mentale globale du problème. S’ils réussissent à comprendre le problème, ils demandent immédiatement après ce qu’ils doivent faire.

Ces élèves n’apprécient ni les travaux de compréhension de textes ni la résolution de problèmes. Ils aiment les exercices où, par exemple, de façon claire on leur demande de trouver le sujet d’une phrase, d’additionner, de mesurer, de dessiner une figure précise.

Règle générale ce comportement et ces difficultés d’apprentissage résultent d’un encadrement exagéré. Ce type d’encadrement peut cependant être justifié, mais le résultat sera le même : manque d’autonomie, peu de créativité, naïveté, jugement peu développé.

Cet encadrement exagéré se retrouve souvent :

- lorsque l’enfant souffre de problèmes de santé permanents ;
- lorsque l’enfant est l’aîné d’une famille ;
- chez les militaires ;
- chez certaines parties de la population qui désirent protéger leurs enfants de l’influence de cultures différentes ;
- dans les familles où les parents sont anormalement inquiets pour leurs enfants.

Bref, là où l’enfant n’a pas suffisamment d’occasions de prendre des initiatives, voire même, de prendre des risques. Or interpréter les données d’un problème et, par la suite, évoquer des voies de solution, c’est faire preuve d’initiative, c’est prendre des risques.

Par ailleurs, l’élève qui perçoit l’erreur comme un échec, l’élève orgueilleux aussi, aura de la difficulté à se lancer dans une aventure où erreurs et échecs sont plus nombreux que réussites.

Quelle conclusion peut-on tirer de ce qui a .été décrit dans Mathadore 255 et 256 ? Tout blocage permanent lors d’une ou l’autre des deux premières étapes d’une résolution de problèmes, que ce soit l’étape qui consiste à comprendre le problème (Mathadore 255), ou celle qui consiste à imaginer diverses voies de solutions, sera tel que le problème ne sera pas résolu et qu’il sera impossible d’aborder et d’évaluer les étapes suivantes de la résolution du problème.

Comment noter alors ces étapes ? Faut-il accorder, par exemple zéro sur vingt points à quelque chose qui n’a pas été évalué ? Ou faut-il présumer que l’élève aurait réussi ces étapes ?

Bref, pondérer la valeur des travaux des élèves dans chacune de ces étapes, en vue d’obtenir un quelconque pourcentage, n’a aucun sens, sauf si l’élève réussit très bien toutes les étapes ou qu’il n’échoue que la dernière. Il s’agit donc d’une évaluation qui sera adéquate pour quelques élèves, les plus forts.

Robert Lyons