MATHADORE
    Volume 7 Numéro 246 – 29 avril  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

              Découverte de l’algorithme de division

Voici une activité très simple qui permet aux élèves de réinventer l’algorithme de division.

Utilisez le matériel de base dix ou l’équivalent, c’est-à-dire des carrés de carton de 10 cm sur 10 cm, des bandes de 1 cm sur 10 cm et des cubes d’un cm de côté. Il vous faudra une douzaine de carrés, une vingtaine de bandes et une quarantaine de cubes par élèves.

Dites aux élèves d’imaginer que ces pièces représentent des tuiles avec lesquelles vous allez recouvrir un plancher.

Demandez-leur de prendre 4 carrés, 4 bandes et un cube et de les placer afin de recouvrir un carré. Dessinez toutes les possibilités au tableau. En fait il y en a très peu, par exemple :

                    

Le second dessin sera probablement celui que vos élèves feront le plus souvent. Le premier est le plus intéressant. Quoiqu’il en soit, tous ces dallages sont valables. Servez-vous cependant du premier pour  réaliser ce qui suit.

Dites aux élèves que vous allez noter ce qu’ils ont fait. Écrivez :

                                     

Mentionnez que 441 représente tout le matériel utilisé : 4 plaques d’une centaine, 4 bandes d’une dizaine et une unité.

Poursuivez en écrivant :

                                      

Le nombre 21 représente la hauteur du carré. Demandez maintenant aux élèves de vous décrire la largeur du carré. Aidez-les en leur faisant remarquer que les pièces ont été disposées en colonnes et que certaines colonnes sont plus larges que d’autres. Demandez-leur quelle est la largeur des colonnes les plus larges. C’est une dizaine. Au besoin, qu’ils mesurent cette largeur avec leurs centicubes. Cela peut s’avérer nécessaire car certains élèves considéreront que la largeur est une centaine en observant le carré d’une centaine. Mais la largeur est une mesure de longueur et le carré est une unité d’aire. Notez donc :

                                        

Le d annonce qu’il y aura des colonnes d’une dizaine de largeur et le u représente les colonnes d’une unité de largeur.

Demandez aux élèves :

- Combien avez-vous de colonnes d’une dizaine de largeur ? (Réponse : 2)
- Quel nombre représente le matériel qui occupe ces colonnes ? (Réponse : 420)

Notez parallèlement :

                                          

- Quel matériel vous reste-t-il pour les autres colonnes ? (Réponse : 21)

                                         

- Avec le reste du matériel, combien pouvez-vous faire de colonnes d’une unité de largeur? (Réponse : une.)
- Que vous reste-t-il à placer ensuite ? (Réponse : rien.)

Notez :

                                           

Donc, 441 ÷ 21 = 21.

Essayons avec 312 ÷ 13.

Demandez aux élèves de recouvrir un rectangle de 13 unités de hauteur en utilisant 3 carrés, 1 bande et 2 cubes.

Deux difficultés vont survenir chez plusieurs élèves. La première sera de concevoir un rectangle de 13 unités de hauteur.

Solution – Remettez-leur une feuille sur laquelle un rectangle ouvert tel le suivant sera tracé :

                                           

La seconde, c’est que ce recouvrement rectangulaire n’est pas possible avec 3 carrés, 1 bande et 2 cubes. Pour le rendre possible, il faut remplacer un carré par 10 bandes et une bande par 10 cubes.

Laissez les élèves chercher cette solution. Certains élèves trouveront évidemment plus rapidement que d’autres. Mentionnez-le aux autres, ce qui les motivera. À la limite, mentionnez-leur qu’ils peuvent remplacer des pièces par d’autres qui occupent le même espace. Ou mieux, demandez-leur ce qu’ils pourraient faire s’ils avaient une scie.

Voici le dallage qui sera obtenu le plus souvent :

                                           

Questionnez les élèves, comme décrit plus haut pour 441 ÷ 21 et notez progressivement leurs réponses.

1. Quelles sont les largeurs des colonnes (Dizaine et unité.)
2. Combien de colonnes d’une dizaine de largeur ? (2)
3. Quel matériel est placé dans ces colonnes ? (260)
4. Quel matériel vous reste-t-il à placer ? (52)
5. Combien de colonnes d’une unité de largeur pouvez-vous faire ? (4)
6. Quel matériel est alors utilisé ? (52)
7. Que vous reste-t-il à placer ? (Rien.)
Notez parallèlement :
 

 
                                       
 
 

Robert Lyons