MATHADORE
    Volume 7 Numéro 244 – 15 avril  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                 Physique et maths

Voici la représentation de deux roues reliées par une courroie.

                            

Si la roue 1 tourne dans le sens des aiguilles d’une montre (+) la courroie (+) forcera la roue 2 à tourner dans le même sens (+). C’est une situation qui peut être codifiée par (+) × (+) = (+).

Voici une autre situation.

                           

Cette fois les deux roues tournent dans le sens anti-horaire. Puisque la courroie ne modifie pas le sens de rotation, on la représente encore par (+). D’où, cette fois :
 (–) × (+) = (–).

Voici un autre schéma.

                              

Cette fois la courroie inverse le sens de rotation (–). 
L’équation devient (+) × (–) = (–).

Pour ce qui précède, aucun nombre n’est requis. Ce sera différent cette fois.

                           
 

Admettons que le diamètre de la première roue soit trois fois plus grand que celui de la seconde roue. Imaginons que la première roue effectue 10 rotations par minute dans le sens horaire (+10). La courroie maintient le sens de rotation (+) et, à cause du rapport entre les diamètres des deux roues, la courroie fera tourner la seconde roue trois fois plus rapidement (+3) que la première (+10). Nous obtenons donc que la seconde roue tournera à une vitesse de 30 rotations horaires par minute d’où : 
(+10) × (+3) = (+30).

Les nombres ajoutés représentent donc deux types de quantités : le nombre de tours par minute (+10) et (+30) et la variation de ce nombre de tours (+3).

Évidemment, nous pouvons croiser la courroie afin de modifier le sens de rotation de la seconde roue ou faire en sorte que la première roue soit, par exemple, quatre fois plus petite que la seconde. Le facteur multiplicatif 3 deviendrait alors ¼ et nous aurions (+10) × (+ ¼) = (+2 ½) ou, si la courroie est croisée :
  (+10) × (– ¼) = (–2 ½).

La même loi des signes s’applique aussi aux aimants : 


 

Lorsque les deux pôles sont semblables, les aimants se repoussent (+), lorsqu’ils sont différents, ils s’attirent (–).

Les aimants n’ont pas tous la même force, cette force peut donc être quantifiée. Il est évident que plus la force d’une barre aimantée est grande, plus son effet d’attraction ou de répulsion sera grand. Cette  fois l’équation  n’est  pas  aussi  simple que 
(+3) × (–4) = (–12), car d’autres facteurs entrent en ligne de compte : la distance entre les deux aimants et le coefficient de frottement entre les barres, la surface sur laquelle elles reposent…

En effet, on conçoit assez facilement qu’en éloignant les aimants, arrive un moment où leur force d’attraction n’est plus suffisante pour qu’ils se déplacent un par rapport à l’autre. Par ailleurs, deux barres aimantées glisseront mieux une vers l’autre ou s’éloigneront plus facilement une de l’autre si elles reposent sur une surface plane glacée ou huilée au lieu d’une surface abrasive, telle une feuille de papier à sabler.

Dans le cas des aimants, on aura une équation de base telle (+3) × (–4) = (–12) à l’intérieur de laquelle il faudra introduire diverses variables qui représentent la distance entre les aimants, en fait le carré de la distance (d²) et le coefficient de frottement entre les barres et la surface sur laquelle elles reposent. L’équation ressemblerait à ceci :  (+3) × (–4) kd² = (–12) kd².

La loi des signes, lorsqu’aucun nombre n’accompagne ces signes, représente donc des situations très familières du langage, à moins qu’elle illustre les liens existant entre une ampoule électrique et deux commutateurs qui la contrôlent. Par contre, lorsque des nombres accompagnent les signes + et –, il vaut mieux chercher des exemples en sciences.

En fait, on peut dire que les mathématiques du primaire étudient des situations quotidiennes assez bien connues, telle la comptabilité de base, la langue orale ou écrite, la mesure, la géométrie plane, la géométrie des solides, la topologie, les statistiques sportives, la confection d’un agenda ou d’un horaire, la pagination d’un document.

Par ailleurs, les mathématiques du secondaire codifient plutôt le monde des sciences.

Robert Lyons