MATHADORE
    Volume 7 Numéro 243 – 8 avril  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                      Pas si négatif que cela…

Afin de percevoir l’utilité de la loi des signes, il faut clarifier deux concepts fondamentaux. Le premier concerne ce qui distingue les opérations sur les nombres. 

Lorsque nous opérons sur des quantités, il existe deux possibilités :  

a) La nature de ces quantités est conservée, par exemple 3 mètres + 2 mètres = 5 mètres, il y a alors un dénominateur commun, ici ce sont des mètres. Cette première possibilité caractérise la fonction additive, donc l’addition et la soustraction. Pour illustrer de telles situations graphiquement, il suffit d’un axe, le dénominateur commun lui donnera son nom.
b) La nature d’au moins un des termes est changée. Cette seconde possibilité est observée dans 3 mètres × 2 mètres = 6 mètres carrés ou dans 3 mètres × 2 = 6 mètres. Dans ces deux exemples, il n’y a aucun dénominateur commun, c’est ce qui se produit toujours lorsque nous effectuons une multiplication, une division, une factorisation ou une extraction de racine. Ces opérations forment la fonction multiplicative. Puisqu’il y a plus d’un type de quantité d’impliqué, l’illustration graphique nécessitera deux axes au moins.

Le second concept qu’il faut ajuster est l’idée qu’un nombre affecté du signe – représente un manque ou une quantité inférieure à zéro. En fait, les symboles + et –  évoquent des oppositions. Par exemple, lors d’une partie de hockey, l’équipe des cerfs sera désignée par le symbole + alors que celle des castors le sera par le symbole – ou l’inverse, c’est relatif. Ainsi, l’expression +4 –5 = –1 peut indiquer que, dans cette partie, l’équipe des cerfs a marqué quatre buts (+4) alors que celle des castors a marqué cinq buts (–5). Il en résulte que l’équipe des castors a gagné par un seul but (–1). Puisque chaque quantité représente des buts, il s’agit d’une opération qui a un dénominateur commun, donc elle appartient à la fonction additive (addition ou soustraction).

Ajoutons que si nous sommes intéressés non pas à montrer qui a gagné, mais par le nombre total de buts comptés, il faudra écrire : | +4 | + | –5 | = 9. Les traits verticaux avisent de ne pas tenir compte des signes + et –, donc de qui a marqué les buts, et ainsi de trouver le nombre total de buts marqués dans la partie.

Passons à la loi des signes en multiplication. Nous avons quatre possibilités :

(+) × (+) = (+)  (–) × (–) = (+)
(+) × (–) = (–)  (–) × (+) = (–)

Parfois, de telles multiplications sont représentées sous la forme :

+ (+) = (+)  – (–) = (+)
+ (–) = (–)  – (+) = (–)

L’exemple le plus courant de ce qui précède se produit lorsque nous parlons. Puisque les égalités qui précèdent représentent une opération de la fonction multiplicative, il n’y a pas de dénominateur commun.

Observez ce qui suit :

- C’est vrai (+) que je suis enseignant (+), donc je suis enseignant (+).
- C’est vrai (+) que je ne suis pas enseignant (–), donc je ne suis pas enseignant.
- C’est faux (–) que je suis enseignant (+), donc je ne suis pas enseignant (–).
- C’est faux (–) que je ne suis pas enseignant (–), donc je suis enseignant (+).

Lorsque, en français, nous avons une double négation, (–) × (–), le résultat est une affirmation (+).

Prenons maintenant un exemple en électricité. Ne paniquez pas, vous vivez avec cet exemple tous les jours. Trouvez une ampoule électrique que vous pouvez contrôler à partir de deux endroits différents, une ampoule située au-dessus d’un escalier par exemple. Faites en sorte que l’ampoule soit allumée. Actuellement, le levier d’un commutateur est en haut alors que l’autre est en bas. Collez deux « post-it » afin de rappeler la position de chaque levier. Les « post-it » seront représentés par le signe +. Vous obtenez (+) × (+) = (+), les deux premiers + représentent la position actuelle de chaque levier et le dernier (+) indique que l’ampoule brille.

Changez la position d’un des leviers et l’ampoule ne brille plus (–). La nouvelle situation peut être illustrée par (+) × (–) = (–) ou par (–) × (+) = (–). Et maintenant, changez la position de l’autre levier, l’ampoule brille de nouveau. Les deux leviers ne sont plus aux positions indiquées par les « post-it », positions déjà désignées par le symbole (+), ils sont en positions opposées donc aux positions indiquées par le symbole (–). La situation actuelle peut donc être représentée par : (–) × (–) = (+).

Ces exemples, tirés du langage et de l’électricité, constituent probablement ceux qui sont les plus courants et les mieux compris. Aucun d’entre eux cependant ne peut illustrer une égalité telle (–4) × (–5) = (+20). Nous le verrons la semaine prochaine. D’ici là, ouvrez le capot de votre automobile et…
 

Robert Lyons