MATHADORE
    Volume 7 Numéro 242 – 1er avril  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

       Démonstration pour enfants de neuf ans de la loi des signes

Lorsque certains de nos ancêtres ont inventé les premiers balbutiements de la comptabilité, ils devaient distinguer les crédits des débits. En 1489, un mathématicien du nom de Johann Widman  utilisa pour la première fois les symboles  + et –. Il s’en est justement servi pour identifier un crédit (+) et un débit (–). Les mêmes symboles ne seront utilisés que vingt-cinq années plus tard afin de désigner l’addition et la soustraction. Il était alors relativement facile d’additionner des crédits et des débits. Facile aussi de faire le bilan entre les débits et les crédits. 

Plus tard, la multiplication de nombres précédés de ces  symboles n’a pas posé de problèmes véritables sauf lorsqu’il s’est agi de multiplier deux nombres affectés du signe –. En effet, dans les autres cas, il était possible d’associer ces multiplications à des applications connues en comptabilité. Par exemple, (+2) × (+3) = +6 peut représenter la quantité équivalente à trois crédits de deux unités ou à deux crédits de trois unités.

Par ailleurs : (–2)  × (+3) = –6 puisque trois débits de deux unités équivalent à un débit de six unités. Cette interprétation vaut également pour (+3) × (–2) = –6, car la multiplication est commutative, donc l’ordre des facteurs ne modifie en rien le sens de ce qui est représenté.

Reste le cas (–2) × (–3) = +6. En faisant abstraction de tout sens possible, on pouvait élaborer un ensemble de conséquences logiques qui permettent de valider cette égalité. 

Sachant que (+5) × (+4) = (+3) × (+4) + (+2)  × (+4) 
                                       =        +12                  + 8 
                                       =                   +20 ; 

sachant que (–5) × (+4) = (–3) × (+4) + (–2) × (+4) 
                                       =        –12               –8 
                                       =                  –20 ; 

sachant que (+5 –2) × (+4) = (+5) × (+4)  +  (–2) × (+4)
                                            =      + 20                    – 8
                                            =                     +12,

 il suffisait de résoudre une multiplication telle (+5 – 2)  × (+7 – 1). Or nous savons que cette multiplication est identique à (+3)  × (+6) = +18 donc que le résultat doit être +18.

Utilisons ces nombres comme si +5 –2 représentait la hauteur d’un rectangle alors que +7 –1 représentait sa largeur.

                                               

Posons dans ce rectangle les résultats connus, soit (+7) × (+5) = +35 ; (+7) × (–2) = –14 et (+5) × (–1) = –5. En ce qui concerne (–2) × (–1), oublions les signes et contentons-nous d’écrire 2 sachant que 2 × 1 = 2.
                                    
Or +35 – 14 – 5 = +16
Et (+7 –1) × (+5 –2) = (+6) × (+3) = +18
Il en résulte que le nombre 2 doit être précédé d’un + pour que l’égalité puisse être correcte. Ainsi : (+7 –1) × (+5 –2) = +35 – 14 – 5 + 2 = 16.

Sachant maintenant que (–3) × (–2) = +6, il reste à trouver des applications réalistes de cet énoncé. Rejetons la suivante : Tu as une dette de 3 $ et ton ami te l’enlève deux fois. Combien as-tu d’argent maintenant ? 6 $ ! Jamais ! Essayez., vous verrez bien !

La semaine prochaine, nous tenterons  de trouver des applications au produit de deux nombres négatifs. D’ici là, sachez que de telles applications sont fréquentes, que nous les rencontrons tous les jours et que certaines d’entre elles sont maîtrisées par les enfants de quatre ans. Tout cela est bien normal puisque les mathématiques ont été inventées afin de nous permettre de comprendre d’abord et d’agir ensuite sur notre environnement.

Robert Lyons