MATHADORE
    Volume 7 Numéro 240 – 18 mars  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                    Le théorème de Pythagore

Pour beaucoup de personnes, un énoncé mathématique, ou encore une technique de calcul, peut être une « loi » tombée du ciel à la fois indiscutable et indémontrable. Heureusement, ce n’est jamais le cas. Il existe certes des conjectures, c’est-à-dire des énoncés qui n’ont jamais été contredits mais dont la preuve n’est pas encore trouvée. Cela ne signifie certainement pas que cette preuve n’existe pas.

Cette semaine, nous abordons une série de belles découvertes, de belles preuves mathématiques. Elles étonnent souvent par leur ingéniosité et parfois par leur simplicité.

Tout le monde connaît le fameux théorème de Pythagore selon lequel le carré de l’hypoténuse d’un triangle est égal à la somme des carrés de ses côtés. En voici une illustration.
 


Ce triangle est donc formé d’un angle droit. Face à cet angle droit se situe le côté c, c’est l’hypoténuse du triangle. L’angle droit, donc de 90°, est formé par la rencontre des côtés a et b. Prenons le plus célèbre de ces triangles, celui où a = 3, b = 4 et c = 5.

Le carré de a est 3 × 3 = 9 = a²
Le carré de b est 4 × 4 = 16 = b²
Le carré de c est 5 × 5 = 25 = c²
On constate que a² + b² = c² car 9 + 16 = 25.

Après plusieurs essais sur des triangles variés, on constate que le même phénomène se reproduit chaque fois. Il semble donc, expérimentalement du moins, que la somme des carrés des côtés qui forment l’angle droit du triangle rectangle soit égale au carré de l’hypoténuse. C’est une conjecture, ce n’est pas encore une preuve, ni un théorème.

Essayons de démontrer le théorème. Observez la figure suivante :

Vous y verrez quatre triangles rectangles identiques (T) formant un carré dont le côté c est l’hypoténuse de chacun de ces triangles. L’aire de ce carré est c² ou c × c.

Ce carré c² est constitué de quatre triangles et d’un petit carré. L’aire de chacun des quatre triangles est (a × b) ÷ 2 soit le demi-produit de la longueur de la base par la longueur de la hauteur de chaque triangle. L’aire totale de ces quatre triangles est donc    4 × (ab) ÷ 2 = 2ab.

Passons maintenant au petit carré. Ses côtés mesurent (b – a) soit la différence entre le grand et le petit côté de chaque triangle. L’aire de ce petit carré est donc (b – a)² soit b² – 2ab + a².

Le grand carré, le carré dont l’aire est c², est donc constitué de quatre triangles dont l’aire totale est 2ab et d’un carré dont l’aire est b² – 2ab + a². En additionnant les aires de chacune des constituantes du grand carré, nous obtenons : 
                               2ab + b² – 2ab + a² = b² + a². 

L’aire du grand carré est donc b² + a² et elle est aussi c². Donc c² = b² + a², le carré de l’hypoténuse c du triangle rectangle formé des côtés a, b et c est donc égal à la somme des carrés de a et de b.

Le fait de varier la forme du triangle rectangle ne modifie en rien la relation découverte. Nous avons donc un théorème, le théorème de Pythagore.

Rien ne prouve cependant que ce qui précède corresponde à la démonstration perdue de Pythagore d’autant plus que ce théorème peut être démontré de plusieurs autres façons, il suffit d’être créatif d’abord et logique ensuite.

Robert Lyons