MATHADORE
    Volume 7 Numéro 237 – 18 février  2007
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                  L’arbitre en constructivisme

Si les élèves doivent construire eux-mêmes leurs compétences, il faut que chaque construction soit validée. Allons plus loin, il faut que l’élève puisse valider lui-même ses inventions. Cela est possible grâce à la répugnance de l’esprit humain pour la contradiction. Lorsque nous utilisons une stratégie de résolution de problèmes dite par « essais-erreurs », nous avançons une hypothèse et tentons de la valider en vérifiant si elle contredit les données du problème. Ces contradictions sont appelées conflits cognitifs.

Donc, l’élève doit résoudre un problème; au bout d’un certain temps, il fait un essai, lequel sera validé si aucune contradiction n’existe entre cette solution et les données du problème. Il est possible que l’élève constate seul l’existence d’une contradiction et il est possible que l’enseignante doive l’aider, simplement en rappelant une partie de la consigne. En guise d’exemple : l’élève doit aligner trois bâtonnets de longueurs différentes de sorte que le plus petit soit au centre et le plus grand, à gauche. Il construit l’alignement : grand – moyen – petit. Une consigne n’est pas respectée, le plus petit doit être au centre. Il relit les données de son problème et constate son erreur. Par contre si l’élève n’a que six ans, cette lecture ne règlera pas nécessairement le problème puisqu’il tient rarement compte de deux consignes en même temps. Ainsi, s’il lit d’abord que le bâtonnet le plus court doit être au centre, il fera un changement, qui tiendra compte de cette donnée, en négligeant l’autre donnée : le plus grand est à gauche. Il a une chance sur deux de tomber sur la bonne solution. S’il lit ensuite la seconde consigne, et s’il constate une contradiction parce que précédemment il a changé le grand bâtonnet de place, il a encore une chance sur deux d’obtenir la bonne solution. Il a besoin de notre aide. Il suffira alors de lui rappeler la consigne négligée, d’attendre sa nouvelle solution et, si elle est erronée, de lui rappeler probablement l’autre consigne. Et ainsi de suite jusqu’à ce que les deux consignes soient respectées.

Il arrive qu’on nous objecte que cela ne peut fonctionner que pour les concepts simples, enseignés aux jeunes élèves. Voyons cela.

Trouver des solutions à une équation telle 2x + 3y = 12 est au programme des élèves de treize ans environ. Il s’agit donc d’un problème idéal à proposer à des élèves en difficulté de sept ans et plus, afin de leur redonner confiance en leurs capacités en mathématiques. Voici le problème à leur proposer :

On a placé 12 jetons dans des sacs et dans des boîtes. On a utilisé exactement 2 sacs et 3 boîtes. Dans chaque sac on a placé le même nombre de jetons. Dans chaque boîte, on a placé le même nombre de jetons.  Trouve ce qu’on a obtenu.
Voici les diverses possibilités.
          
 
 

Il y a donc trois solutions possibles, les 2 sacs (2x) peuvent contenir 0, 3 ou 6 jetons alors que les 3 boîtes (3y) en contiendront alors 4, 2 ou 0.

Si l’élève a trouvé une solution non valable, c’est qu’une consigne n’a pas été respectée. Il suffira, au besoin, de la rappeler.

Afin de trouver une seule solution à l’équation précédente, il faut ajouter une autre contrainte. Cependant, il s’agit là d’une activité qui s’adresse habituellement aux élèves plus âgés, aux élèves de quatorze ou quinze ans. Bref, l’activité idéale afin de redonner confiance aux élèves en difficulté de huit ans et plus.

Prenons le système d’équations suivant : 4x + 6y = 36 et x + y = 7. Cette fois, nous avons des tables à 4 pattes (4x) et des tables à 6 pattes (6y). En tout, on a dénombré 36 pattes. Quelles sont les possibilités ?

Solutions

x = 9 et y = 0 : 4 × 9 + 6 × 0 = 36

x = 6 et y = 2 : 4 × 6 + 6 × 2 = 36

x = 3 et y = 4 : 4 × 3 + 6 × 4 = 36

x = 0 et y = 6 : 4 × 0 + 6 × 6 = 36

Nous avons donc quatre solutions possibles. Ajoutons la contrainte x + y = 7 qui signifie que le nombre total des tables est sept. Cette nouvelle contrainte élimine trois solutions, ne conservant que la troisième, celle où il y a 3 tables à 4 pattes et 4 tables à 6 pattes.

En classe, j’aime bien proposer ce problème en regroupant les élèves par équipes de deux. Pendant qu’un élève cherche à résoudre la première équation, l’autre tente de résoudre la seconde. Cela se poursuit jusqu’à ce que les élèves obtiennent les solutions suivantes :

       

 

Chaque élève a obtenu 3 tables carrées à 4 pattes et 4 tables rectangulaires à 6 pattes.

Cette présentation de la résolution d’un système d’équations permet aux élèves de huit ans de comprendre :

1. Que pour chaque équation à deux inconnues (3x + 4y = 12 par exemple), il existe habituellement plusieurs solutions.
2. Qu’en ajoutant une seconde équation, pour laquelle plusieurs solutions existent aussi, il est possible de trouver une solution commune qui sera la solution du système d’équations.
3. Que les x et les y représentent des nombres qui ont la possibilité de varier alors que les nombres qui les accompagnent (le 3 de 3x) sont des constantes.
4. Que les nombres qui n’accompagnent pas des variables telles x et y sont aussi des constantes à respecter (le 12 dans 3x + 4y = 12).

Il existe une forme générale pour toutes les équations de ce type, il s’agit de              ax + bx + c = 0. Les lettres a, b, et c sont les constantes et x et y les variables. Ainsi l’équation 3x + 4y = 12 peut s’écrire 3x + 4y – 12 = 0. Dans cette équation, a = 3,  b = 4 et c = – 12. Même si les élèves de huit ans en difficulté réussissent assez facilement ce genre de problèmes, il est aussi possible que les élèves de quatorze ou quinze ans, qui n’ont pas ou qui ont peu de difficultés réussissent aussi… 
Robert Lyons