MATHADORE
    Volume 7 Numéro 236 – 11 février 2007 
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

              Quand peut-on être constructiviste ?

Comment distinguer les apprentissages qui peuvent être construits par l’enfant de ceux qu’il faut lui enseigner ? Il faudrait isoler des concepts identiques développés indépendamment par des individus, enfants ou adultes. Allons plus loin, il faudrait qu’il existe un consensus autour de ces concepts. Est-ce possible de trouver cela ?

Pensons aux langues parlées autour de la planète. Certes, « cheval » ne se dit ou ne s’écrit pas de la même façon en mandarin, en anglais ou en français. En fait le besoin d’exprimer oralement ou par écrit « cheval » sera ressenti par tous ceux qui connaissent cet animal, mais le terme ne peut être découvert, il résulte d’un consensus «local». Le concept de cheval peut être découvert par tous, mais pas le terme qui le désigne.

De la même façon, le futur est un concept que chaque peuple, que chaque enfant, découvre. Chacun découvre aussi le besoin d’exprimer qu’un événement se situe dans le passé, le présent ou le futur. Cette découverte est construite. Ce qui ne peut être construit indépendamment de la même façon est, ici encore, son expression orale ou écrite. En français les temps des verbes constituent un outil privilégié afin de situer un événement dans le… temps. Certains termes, qui ne sont pas des verbes, peuvent aussi avoir le même effet : demain, hier, avant, en mars,…

En français, une phrase telle « Demain nous irons à l’école. » n’a rien de bizarre. Pourtant, un chinois y verra une répétition inutile, puisque « demain » indique le futur, alors pourquoi l’indiquer aussi avec le verbe ? Une phrase telle « Demain nous aller à l’école. » ne change rien à l’idée que l’on exprime même si elle choque l’oreille d’un francophone. On m’informait récemment qu’en mandarin, les verbes ne se conjuguent pas, que ce sont les mots qui les entourent qui informent sur le moment où se déroule l’action.  De la même façon, le sujet indique si le verbe touche une ou plusieurs personnes ou objets, inutile alors d’écrire ce verbe au singulier ou au pluriel. Et dire que, pour parler des difficultés de la langue française, on dit souvent que c’est du chinois…

Pour un francophone et pour un chinois, le besoin d’exprimer le moment où se déroule un événement constitue une découverte commune, la façon de l’exprimer est différente. Ce concept peut être construit alors que son expression résulte forcément d’un enseignement.

Essayons de voir si les mathématiques sont formées de concepts que l’on retrouve dans toutes les civilisations et ce, indépendamment de la façon de les exprimer.

- Besoin de classifier, d’ordonner, de mesurer, de dénombrer de grouper.
- Besoin d’additionner, de soustraire, de multiplier, de diviser.
- Besoin de démontrer la similitude ou l’équivalence entre deux figures.
- Les concepts d’angles, de symétrie, de translation, de rotation.
- Besoin de représenter des quantités opposées.
- Besoin d’exprimer des quantités qui ne sont qu’une partie d’une quantité de référence.
- Les concepts de commutativité, d’associativité, de distributivité.
- Concevoir qu’une opération défait ce que l’autre fait : la soustraction défait ce que fait l’addition : 5 + 3 = 8 alors 8 – 3 = 5.
- Besoin de distinguer les transformations qui ne modifient pas la forme d’un objet (transformations géométriques) de celles qui la modifient (transformations topologiques).

Cette liste peut être prolongée longtemps, tant que chacun des concepts mathématiques n’aura pas été mentionné.

Il est donc clair que le constructivisme peut être d’un grand secours non seulement à l’apprentissage des mathématiques, mais aussi à l’apprentissage des autres matières. Tout ce qui est de nature conceptuelle peut être construit, quelle que soit la matière. Par contre, ce qui est de nature conventionnelle ne peut pas toujours être construit.

Il existe cependant des éléments conventionnels qui peuvent être construits, c’est le cas des techniques de calcul. Prenons la soustraction. L’algorithme utilisé en France diffère de celui utilisé en Amérique. En France on utilise le concept de compensation alors qu’en Amérique on utilise le concept d’équivalence.

Ainsi, en France, la soustraction 410 – 128 sera remplacée par (4 centaines + 11 dizaines + 10 unités) – (2 centaines + 3 dizaines + 8 unités) = 282. Alors qu’en Amérique 410 – 128 deviendra (3 centaines + 10 dizaines + 10 unités) – (1 centaine + 2 dizaines + 8 unités) = 282. En fait le peuple français a découvert, comme nous, les concepts de compensation et d’équivalence. Pour soustraire, la France a choisi d’utiliser la compensation, notre choix a été différent, mais aussi valable.

Cependant, puisqu’il existe un nombre limité de propriétés utilisables au moment de construire un algorithme de calcul, il est certain que, indépendamment,  des individus vont construire le même algorithme.

Alors, quand devrait-on être constructiviste? Chaque fois qu’il s’agit de percevoir un besoin, de développer un concept, ses propriétés et les outils qui en découlent. Pour tout cela, aucun consensus n’est nécessaire. Par contre, lorsqu’il s’agit d’exprimer ces découvertes de façon à être compris de notre entourage, cette fois un consensus devient nécessaire. Et ce consensus devra être enseigné à l’élève.

La semaine prochaine : Quel mécanisme sert à évaluer les découvertes personnelles?

Robert Lyons