MATHADORE
    Volume 7 Numéro 233 – 10 décembre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

            Les bases de numération

Après une entrée fracassante, et controversée, au milieu des années soixante, l’enseignement des bases de numération est actuellement en voie de disparition. Faut-il s’en plaindre ?

Dès le début, les promoteurs de l’enseignement des bases, autres que dix, ont avancé les arguments suivants.

1. Pour comprendre la base dix, il faut pouvoir la comparer à d’autres bases.
2. En manipulation, lorsqu’on travaille en base dix,  il faut beaucoup d’objets afin de se rendre à la troisième position, celle des centaines, alors qu’il n’en faut que neuf lorsqu’on travaille en base trois.

Le premier argument est d’une valeur douteuse. Si l’étude des bases autres que dix est essentielle à la compréhension de la numération, cela conduit à conclure que les tenants de cet argument, qui ont fréquenté l’école bien avant l’introduction de l’enseignement des bases de numération, n’ont pas compris la numération. Ce serait surprenant !

Le second argument est beaucoup plus valable mais il présente un risque important, celui de construire les mathématiques en dehors de contextes réalistes. En effet, les bases de numération utilisées dans ce type d’enseignement sont habituellement les bases trois, quatre et cinq. Or, trouver des applications de ces bases dans notre quotidien est plus que difficile.

Grâce à des problèmes tel « Si une poule qui a deux pattes est attachée à un piquet, si une vache qui a quatre pattes est attachée à deux piquets, combien de pattes aura un cheval attaché à trois piquets ? », on constate que, entre huit et douze ans, plus de la moitié des élèves répondent « six pattes ». Pourtant, les élèves de six ou de sept ans répondent tous, ou presque, « quatre pattes » ainsi que les élèves de huit ans et plus qui sont en difficulté d’apprentissage.

Lorsque les élèves débutent leur scolarité, nous avons tendance à leur enseigner rapidement divers mécanismes, divers termes et, bien sûr la numération et les tables d’addition et de soustraction. Le contexte est souvent escamoté ou « léger ». En agissant ainsi, c’est-à-dire en orientant l’apprentissage sur le contenu du programme, on néglige des apprentissages beaucoup plus importants. Ces apprentissages sont d’abord le développement d’une perception correcte de ce que sont les mathématiques, c’est-à-dire un système qui permet d’abord de comprendre notre environnement afin d’agir ensuite sur lui de façon appropriée. Tant que la majorité des élèves de huit à douze ans considéreront qu’en mathématiques un cheval peut avoir six pattes, tant que ces élèves considéreront que faire des mathématiques c’est additionner, soustraire,… tant que, pour résoudre des problèmes, des élèves tenteront simplement de combiner des nombres ou chercheront un mot qui évoque une opération, alors il sera clair que les élèves n’ont pas développé un apprentissage beaucoup plus important que la maîtrise de techniques de calcul ou de la numération. Dans un tel contexte, l’apprentissage des bases autres que dix augmente le risque de développer chez nos élèves la perception selon laquelle les mathématiques sont très souvent loin du quotidien.

Un apprentissage aussi important que le développement d’une perception adéquate de ce que sont les mathématiques est de constater que nous sommes capables d’en réinventer les fondements. Placés dans des situations semblables à celles qui ont poussé nos ancêtres à inventer les mathématiques, les élèves réussissent habituellement, et souvent facilement, à construire les mathématiques.

Revenons à la numération et à la nécessité de grouper. On observe que, pour dénombrer de petites quantités d’objets, moins que trente ou quarante, le besoin de regrouper est peu présent, cela est vrai chez les adultes et chez les enfants. Par contre, lorsque le nombre d’objets est plus grand, le risque d’erreurs devient suffisamment grand pour qu’il vaille la peine de prendre le temps de grouper. De façon naturelle, les élèves de six ans proposent de grouper par deux, par cinq ou par dix. Le groupement par deux est rapidement abandonné car le trop grand nombre de groupes laisse encore trop de place à l’erreur. Le groupement par dix est le préféré et les élèves le choisissent car ils connaissent le rôle du nombre dix en numération orale, celle qu’ils maîtrisent assez bien.

En laissant les élèves inventer la numération, on constate qu’ils choisissent la base dix. Leur imposer des bases différentes les conduit à considérer que les mathématiques doivent leur être enseignées, qu’ils ne peuvent les réinventer car leurs choix auraient été différents.

La bosse des maths n’existe probablement pas, mais, si elle existe, elle contient simplement trois petits messages :

1. Les mathématiques servent à comprendre notre environnement afin de pouvoir agir sur lui.
2. En mathématiques, chaque formule, chaque algorithme, chaque propriété, chaque principe est démontrable.
3. Confrontés à des problèmes appropriés, enfants et adolescents sont en mesure de réinventer les mathématiques qui leur sont enseignées.

Robert Lyons