MATHADORE
    Volume 7 Numéro 232 – 3 décembre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

               Créativité d’abord !

La semaine dernière nous vous avons proposé un problème classique en mathématiques. Cette semaine nous vous présentons sa solution officielle, laquelle demande un minimum de créativité. Les deux autres solutions ne figurent pas dans les volumes de mathématiques mais elles répondent adéquatement à la question. Il suffit d’augmenter la dose de créativité.

Le problème

Essayez de réunir les neuf points suivants grâce à un minimum de traits continus. Considérons qu’un trait est continu s’il est droit ou si sa courbure est constante. Par exemple, le cercle a une courbure constante, ce qui n’est pas le cas de la spirale.
 

                                            

La solution habituelle

                                                                           

Quelle idée bizarre que de prolonger l’horizontale qui réunit les trois points les plus élevés même lorsque ces trois points ont été touchés ! Enfin, qu’espère-t-on trouver en allongeant ce segment à la droite de l’ensemble des points ? Cette idée semble absurde et, de prime abord, contredit toute logique. Et pourtant, de cette « folie » naîtra une solution géniale.

 Deuxième solution

En définissant ce qu’est un sommet (voir Mathadore 231) nous avons mentionné qu’il existe plusieurs géométries. Le problème précédent a été résolu dans un contexte de géométrie plane malgré que rien dans la question ne nous restreignait à cette géométrie.

Il existe une géométrie qui décrit les figures tracées sur une surface élastique telle une feuille de caoutchouc très mince et facile à étirer dans tous les sens. Sur une telle surface, il est possible, en éloignant les points A et B, d’aligner les points 1 à 5.

                                                            

On trace alors une droite qui reliera ces cinq points. Un étirement semblable permet d’aligner les points 5 à 8 et de les réunir par un trait. Reste le point 9.

Troisième solution

Il faudra passer à une autre géométrie, celle qui étudie les solides. Sur une feuille de papier ordinaire, tracez trois parallèles qui traversent entièrement la feuille en reliant trois points chacun.

                                                                                                 

Il suffit maintenant de placer ces trois traits bout-à-bout. Vous pouvez former un cylindre avec cette feuille de façon à obtenir sur sa surface trois cercles parallèles. Glissez maintenant les bords de la feuille afin que l’extrémité droite de la ligne du haut touche l’extrémité gauche de la ligne du centre. Vous obtenez une ligne continue, dont la trajectoire illustre une vis sans fin.

En résolution de problèmes, nous avons trop tendance à analyser finement chaque détail des problèmes, sans évoquer d’abord divers contextes où peut se situer le problème. Or cette phase d’évocation est essentielle.

Elle permet souvent de prévoir une solution approximative que les étapes suivantes préciseront. Elle permet aussi d’éviter diverses solutions absurdes telle six mètres au problème suivant : « Une corde mesure 2 mètres à une heure, quelle sera sa longueur à 3 heures ? »

Cette première étape du processus de résolution de problèmes est essentiellement créative. Ce n’est pas le temps de manifester un sens critique trop collé sur les données du problème. Si certaines hypothèses de solution ne respectent pas les données ou la question du problème, la seconde phase de résolution se chargera de les écarter. Malheureusement, la fameuse méthode en quatre étapes, habituellement utilisée à l’école, débute par la phase deux, écartant du même coup tout le génie créatif de l’esprit humain.

Cette méthode se limite aux quatre étapes suivantes.

1. Comprendre le problème

Étape d’analyse fine des informations du problème. 
Commentaire : La compréhension est une activité de synthèse et non d’analyse.

2. Concevoir un plan

- Tentatives d’associer le problème à résoudre à un problème connu.
- Tentatives d’imaginer une solution en énonçant le problème différemment.
Commentaire : On sollicite la créativité. C’est un peu tard, l’étape précédente l’a
déjà encadrée.

3. Mettre le plan à exécution

Construction de l’idée de solution.
Commentaire : Cette fois il s’agit d’une activité d’analyse fine pendant laquelle
 tous les détails sont examinés à la loupe. L’imagination doit être contenue, elle 
 a eu la possibilité de se manifester.

4. Revenir sur la solution

La solution est testée.
Commentaire : La solution a-t-elle du sens ? C’est d’abord une activité de synthèse, d’association avec le réel. Lorsqu’une idée de solution a été entrevue, il est possible de se forger une estimation de la réponse recherchée. Cette estimation ressemble-t-elle à la réponse trouvée?
C’est aussi une étape d’analyse pendant laquelle les calculs, les mesures, les graphes seront vérifiés.
 

Robert Lyons