MATHADORE
    Volume 7 Numéro 231 – 26 novembre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                             Qu’est-ce qu’un sommet ?

Certains lexiques mathématiques définissent le sommet comme étant le point de rencontre de deux segments, de deux arêtes. Partant de cette définition, on peut se demander si le cône possède un sommet. En consultant encore divers lexiques, on constate que le « sommet » du cône est appelé apex. Faut-il en conclure que le cône n’a pas de sommet mais qu’il a la chance de posséder un apex ?

Il suffit de parcourir les mêmes lexiques pour voir que le mot sommet est utilisé pour désigner l’apex du cône. En fait, l’apex est un sommet remarquable. Ce qui le caractérise est qu’il se situe au point le plus élevé d’un solide ou d’une figure plane. Ainsi une pyramide régulière possède un apex et un pentagone régulier placé debout sur un de ses côtés possède un apex, le sommet opposé à sa base. Ce n’est pas le seul cas possible.

Le problème réside dans la définition du sommet comme étant le point de rencontre de deux segments ou de deux arêtes. Il serait plus juste de mentionner que le point de rencontre de deux arêtes, ou de deux segments, est un sommet. Ce second énoncé laisse entrevoir la possibilité qu’un sommet puisse être aussi autre chose que la rencontre de deux segments ou de deux arêtes.

Si la définition habituelle est toujours exacte dans le cas de figures planes, elle ne convient pas à tous les cas en géométrie des solides. Dans cette géométrie, la rencontre de deux ou de plusieurs arêtes détermine toujours un sommet mais, afin de tenir compte des sommets qui ne sont pas situés au point de rencontre d’au moins deux arêtes, il vaut mieux utiliser une autre définition qui peut ressembler à ce qui suit.

Dans le cas des solides, un sommet est le point de rencontre d’au moins trois segments de droite tracés sur des plans différents et tangents au solide.

Chaque face d’un solide, sauf si elle est courbe, constitue un plan tangent au solide et chaque arête peut donc être utilisée. En ce qui concerne le cône, une infinité de plans tangents à la surface courbe du solide peuvent être déterminés. Tous ces plans se croisent au sommet du cône. Un segment de droite longeant un de ces plans là où celui-ci longe le cône croisera le sommet du cône.

Autour d’une sphère, il est possible aussi de déterminer une infinité de plans tangents. Cependant, ceux-ci ne peuvent toucher qu’un seul point du solide. Les segments tracés sur ces plans ne touchant, au mieux, qu’un seul point de la sphère, ne peuvent déterminer un sommet. La sphère ne possède donc aucun sommet.

Il n’est pas surprenant de voir autant de problèmes de définition en géométrie puisqu’il existe en fait plusieurs géométries : géométrie plane, géométrie des solides, géométrie projective, géométrie analytique, topologie,… Chacune de ces géométries existe afin de décrire un univers qui lui est propre et qui, partiellement du moins, se distingue de ce que les autres géométries décrivent.

Afin d’illustrer ces distinctions nous vous soumettons un problème classique. Essayez de réunir les neuf points suivants grâce à un minimum de traits continus. Considérons qu’un trait est continu s’il est droit ou si sa courbure est constante, s’il a été tracé au complet en une seule fois et si on n’a pas repassé sur une de ses parties déjà tracée sauf ses extrémités. Par exemple, le cercle a une courbure constante, ce qui n’est pas le cas de la spirale ou du chiffre 8.

                                          
 

Votre bulletin :

- Plus de 5 segments… hum !
- 5 segments : essayez encore.
- 4 segments : c’est la solution officielle. Bravo !
- 3 segments : Voilà qui commence à être intéressant.
- 2 segments : Vous m’intéressez parce que là, je ne vois vraiment pas comment…
- 1 segment : On ne peut faire mieux, c’est le genre de solution que l’on trouve au réveil ou au beau milieu de la nuit, mais cette solution existe.

Réponse la semaine prochaine. D’ici là, bon dodo !
 

Robert Lyons