MATHADORE
    Volume 7 Numéro 229 – 12 novembre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                       Zéro, ce n’est pas rien !

Alors que l’invention du zéro a permis à l’humanité d’améliorer largement la symbolisation mathématique, elle a conduit à de nombreux « mystères ». C’est d’abord afin d’indiquer une position vide en numération que le zéro a été inventé. Avant lui, des symboles différents devaient être utilisés afin de représenter l’unité, la dizaine, la centaine,… Il suffit de penser aux chiffres romains pour en avoir un bel exemple : unité (I), dizaine (X), centaine (C),…

La valeur de position, utilisée avec les chiffres romains où IV diffère de VI va être beaucoup plus efficace en numération moderne. Elle permet de n’utiliser que dix symboles afin d’écrire tous les nombres et facilite largement le calcul écrit. Essayez de calculer avec les chiffres romains !

La question qui nous est posée le plus souvent, et qui implique le zéro, est « Pourquoi tout nombre affecté de l’exposant zéro est-il égal à un ? » En fait, les exposants servent à noter, avec beaucoup moins de symboles, les très grands nombres et les très petits nombres, grands ou petits par rapport au nombre un. Ainsi un nombre plus grand que un sera noté au moyen d’un exposant positif (6³ = 6 x 6 x 6) alors qu’un nombre plus petit que un sera noté au moyen d’un exposant négatif (6­³ = ). Mais si un nombre est égal à un, il n’est ni plus petit, ni plus grand que un, alors son exposant est zéro.

Une façon simple de visualiser les exposants est la suivante :

Observez dans chaque cas la comparaison au nombre un.

Un autre « mystère » est la division par zéro. Toute division peut être illustrée par le dallage d’un rectangle dont l’aire et la largeur sont données. Ainsi 6 ÷ 3 incite à daller un rectangle de 3 unités de largeur au moyen de  6 tuiles carrées. La longueur obtenue est la réponse de la division : 6 ÷ 3 = 2.

Quelle sera la longueur d’un rectangle dont l’aire est de six carrés si sa largeur est nulle ? Bref, comment daller un rectangle, ou un plancher de corridor, avec six tuiles alors qu’il n’y a aucun espace entre deux de ses côtés parallèles, entre les deux murs de ce corridor ? C’est impossible, aucune de ces tuiles ne pourra être insérée entre ces murs. Diviser par zéro est donc impossible.

Inversement, on constate qu’un rectangle n’ayant aucune largeur ne peut posséder qu’une aire nulle, égale à zéro. Donc, en multiplication, zéro est absorbant, c’est le     « trou noir » qui absorbe l’aire du rectangle : 6 x 0 = 0.

Mais qu’en est-il de 0 ÷ 0 ? Cette fois, l’aire du rectangle est égale à zéro et sa largeur est aussi égale à zéro. Ne rien placer entre deux côtés collés un sur l’autre ne peut nous renseigner sur la longueur de ces côtés. Cette longueur est dite indéterminée : 0 ÷ 0 = 6 ou 15 ou 1 ou… Cela n’est pas contredit  par l’opération inverse : 0 ÷ 0 = 6 et 6 x 0 = 0.

Reste le rapport de division où diviser par zéro égale l’infini. Le rapport de division est utilisé afin de décrire une pente. Sur une route, des panneaux indiquent par exemple « 5% », ce qui signifie qu’à cet endroit, pour chaque déplacement horizontal de cent mètres, il faut monter ou descendre de cinq mètres. Oubliez la Tour de Pise et pensez au mur d’un édifice normal, un mur parfaitement vertical. Cette fois le déplacement horizontal est nul, quelle que soit la hauteur du mur. Si celui-ci mesure, par exemple, sept mètres de hauteur, sa pente est maximale, infinie. Cela s’exprime par le rapport de division 7/0 = . En fait le rapport de division utilise les mêmes symboles que la division, mais le contexte est différent.

Il faut donc constater que les mathématiques expriment, avec une économie considérable de symboles, des réalités fort différentes. Sortir les mathématiques des contextes qui leur donnent naissance, réduit de beaucoup les chances de les comprendre et de s’en servir utilement. Il s’agit alors surtout de jouer avec des symboles et diverses lois qui en régissent la manipulation. Or, si la transposition des concepts mathématiques en symboles en a amélioré la manipulation, la substitution des contextes par ces jeux symboliques a conduit à dissocier de nombreuses applications des mathématiques des symboles qui les représentent. En guise d’exemples, combien de gens associent la loi de la multiplication des symboles + et ? avec, entre autres, la double négation en français ou les effets sur une ampoule électrique des positions des leviers des commutateurs situés en bas et en haut d’un escalier. Enfin, nous avons vu des étudiants qui jouaient parfois au Combat naval sans associer ce jeu au système de coordonnées cartésiennes.

Robert Lyons