MATHADORE
    Volume 7 Numéro 227 – 29 octobre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                        Les trois algèbres

L’algèbre fait peur, mais quelle algèbre ? Et d’abord, qu’est-ce que l’algèbre ? Le mot algèbre vient de l’arabe al-jabr qui signifie réduction ou réparation. En Espagne, au moyen-âge, le terme algebrista signifiait « rebouteur ». Très souvent les rebouteurs faisaient aussi la saignée et… coupaient les cheveux. Ils affichaient ces trois fonctions grâce à un cylindre où figuraient trois spirales, une blanche (rebouteur d’os), une rouge (saignée) et une bleue (coupe de cheveux !?… Eh bien, peut-être que Barbe Bleue était leur client favori !). Ces mêmes cylindres annoncent encore les salons de barbiers.

Donc l’algèbre consiste à réduire non pas une fracture, mais l’arithmétique, à la rendre plus parfaite ou mieux, plus générale. Comment fait-on pour trouver l’aire d’un rectangle mesurant trois mètres sur deux mètres ? On multiplie trois mètres par deux mètres. Comment fait-on pour trouver l’aire d’un rectangle mesurant sept mètres sur quatre mètres ? On multiplie sept mètres par quatre mètres. Cela c’est de l’arithmétique, de l’arithmétique rhétorique où la symbolisation des solutions n’est pas encore utilisée, par exemple 3 m x 2 m = 6 m².

Comment fait-on pour trouver l’aire d’un rectangle quelconque ? On multiplie sa longueur par sa largeur. Cette fois il s’agit d’algèbre rhétorique, sans symboles. Il s’agit d’un problème et d’une solution qui résument ou réduisent un ensemble infini de problèmes arithmétiques à un seul problème. Plutôt que de s’occuper de problèmes particuliers semblables, on s’occupe du type de problèmes  et on décrit la procédure de résolution.

L’algèbre rhétorique est quotidienne, tous l’utilisent efficacement. Comment faire pour calculer notre bilan financier ? Il faut faire la somme de la valeur de tous nos biens et diminuer cette somme de la valeur de toutes nos dettes. C’est de l’algèbre rhétorique et elle constitue une ligne directrice qui permet de faire notre bilan quel qu’il soit, à n’importe quel moment.

Vous planifiez un voyage et voulez établir votre budget. Vous ferez d’abord la liste des items à considérer, frais de voiture, de séjour, souvenirs, visites payantes, imprévus. C’est de l’algèbre rhétorique. Lorsque chacun de ces items sera remplacé par un nombre, vous passerez à l’arithmétique, au cas particulier.

À l’algèbre rhétorique a succédé progressivement, à partir du 3e siècle, une algèbre dite syncopée. Il n’y a pas de quoi en faire une maladie! L’algèbre syncopée réduit le discours ou la rhétorique à un certain nombre d’abréviations et à quelques symboles. Si nous reprenons l’exemple du calcul de l’aire des rectangles, la solution se représente désormais sous une forme telle : Aire rect.égale long mult larg. Le discours est réduit, mais la même réalité est représentée.

Et enfin, l’algèbre symbolique. Cette fois, tous les termes et toutes les abréviations sont remplacés par des symboles : A = L × l.  Divers groupes de symboles sont réduits à quelques symboles. Ainsi, au troisième siècle, dans son algèbre de type syncopée, Diophante d’Alexandrie utilisait des lettres différentes pour représenter les diverses puissances d’un nombre qui étaient alors décrites comme suit : carrés (x²), cubes (x³), carrés-carrés (x4) carrés-cubes (x5),… Ces « carrés-carrés » relevaient de l’algèbre rhétorique. En utilisant des lettres différentes pour représenter les carrés-carrés, les carrés et les carrés-cubes, Diophante réduisait les énoncés, il passait à l’algèbre syncopée. En décidant de prendre toujours une même lettre et de modifier l’exposant (x², x³,…) une nouvelle réduction paraît et on passe à l’algèbre symbolique.

Bref, l’algèbre a été inventée afin de réduire une liste d’énoncés particuliers de l’arithmétique en un seul énoncé. Avec le temps, cet énoncé a été lui-même réduit à quelques symboles qui représentent les mêmes réalités d’une façon moins explicite certes, mais il n’y a pas de quoi en faire une syncope ! L’algèbre fait donc porter un costume à un ensemble de procédures ou d’énoncés. Le costume laisse paraître diverses caractéristiques générales de ce qui est caché tout en dissimulant les caractéristiques individuelles du problème particulier. C’est un peu comme un soir d’Halloween lorsque des enfants se présentent à votre porte. Vous pouvez, la plupart du temps, savoir s’il s’agit d’une fillette ou d’un garçon et à quel groupe d’âge l’enfant appartient. Il est aussi possible que vous ne puissiez découvrir de quel enfant précis il s’agit car, ce même costume peut être porté par plusieurs enfants du même sexe et du même groupe d’âge.

Joyeux Halloween!

Robert Lyons