MATHADORE
    Volume 7 Numéro 222 – 22 septembre  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                    Comprendre vite ou longtemps…(1)

Précisons d’abord ce que nous entendons par compréhension. Il ne s’agit pas d’établir un consensus autour de cette définition, mais bien de cerner ce dont nous parlerons. Considérons que comprendre signifie associer des éléments entre eux au moyen de liens analogiques. Les liens analogiques sont arbitraires et dépendent de notre culture. Ainsi, lorsqu’on nous demande à quoi nous fait penser la couleur blanche, le choix est plus ou moins vaste selon ce que nous connaissons déjà. Surtout, le choix de l’un peut être différent du choix de l’autre et ces choix peuvent être tous les deux valables. 

Par opposition, une association logique, laquelle provient du raisonnement, laisse habituellement moins de marge de manœuvre. Par exemple, si Julie est plus jeune que Nadia et si Ariane est la plus jeune des trois, il est clair que Nadia est l’aînée et que Julie n’est ni l’aînée ni la cadette. Ici, il n’y a pas de place pour la créativité, pour l’imagination. Il faut travailler logiquement, du début à la fin, des règles ou des consignes doivent être respectées à la lettre.

Revenons donc à la compréhension, Qu’est-ce qui la provoque, qu’est-ce qui la bloque ? Comprenons-nous tous à la même vitesse ou à des vitesses différentes ?
Commençons par le problème de temps. Pensez à une histoire drôle que l’on vous a racontée, à quelle vitesse l’avez-vous comprise ? Y a-t-il eu un moment où vous ne compreniez rien, suivi d’un moment où votre compréhension méritait une note de 20% ou une cote E ? Par la suite, votre compréhension est-elle passée à 40 ou 50 % ou à la cote D ? N’avez-vous pas éprouvé un soupir de soulagement lorsque vous vous êtes enfin mérité 60 % ou la cote C ? Et, plus tard, quel bonheur d’obtenir enfin 100 % ou A !

Parions que cela ne s’est pas du tout passé tel que décrit précédemment. Parions qu’un moment d’incompréhension totale s’est transformé soudainement en un moment de compréhension totale, de 0% à 100 % de Z à A en une seule seconde, sans notes ou cotes intermédiaires. En fait, nous comprenons tous à la même vitesse, en un éclair. Le problème est que l’éclair ne jaillit pas pour tous au même moment. La question qui se pose maintenant est comment faire jaillir l’étincelle ou encore, pourquoi jaillit-elle plus rapidement chez l’un que chez l’autre.

Remarquons d’abord une chose, ce ne sont pas toujours les mêmes personnes qui comprennent en premier. Certes, il y en a qui ont une " meilleure moyenne au bâton " que d’autres, mais une personne réputée pour sa vitesse de compréhension peut très bien se retrouver dans une situation où elle est parmi les dernières à comprendre.
Il existe en fait un certain nombre de variables qui expliquent pourquoi l’éclair jaillit à des moments différents d’un individu à un autre. Les mêmes variables expliquent pourquoi, pour un même individu, la compréhension surviendra rapidement dans une situation et tardivement dans une autre. Voyons donc ces variables et comment elles interviennent dans le processus de compréhension. Elles sont au nombre de quatre et, puisque chacune d’entre elles est incontournable, il est inutile de leur donner un ordre d’importance. Par contre, il existe un ordre d’intervention de ces variables. En tant qu’enseignant, nous devons donc suivre cet ordre. Cela est possible si nous respectons quatre règles, en partant de la règle numéro 1 à la règle numéro 4. Dans les paragraphes qui suivent, afin de faciliter la présentation et la compréhension de ces règles, nous les décrivons en ordre inversé.

RÈGLE NUMÉRO 4 : La formation des images mentales.

Tentez l’expérience suivante : Isolez-vous pour deux minutes en prenant avec vous un crayon et une montre indiquant les secondes. Essayez maintenant de ne penser qu’à ce crayon pendant au moins trente secondes. Dès que votre esprit vagabondera ailleurs, regardez la montre et vérifiez combien de secondes se sont écoulées.

Il est important de faire cette expérience avant de poursuivre votre lecture.

Votre façon de procéder montre habituellement de quelle nature est le support que vous préférez utiliser afin de vous créer des images mentales ou, si vous le voulez, afin d’enregistrer des données diverses. Ce même support est utilisé par votre cerveau afin d’associer entre elles diverses données qu’il a enregistrées. Disons que ce n’est pas le seul support que votre cerveau utilise, mais c’est celui qui lui est le plus naturel. Cela signifie que ce support, s’il est disponible, sera celui qui aura la priorité. Si ce support, grâce auquel votre cerveau apprend le plus facilement n’est pas disponible, votre cerveau devra s’en remettre à un second ou à un troisième support avec lequel il est cependant moins à l’aise. 

Quels sont ces supports? Chez les uns, c’est la parole. Ces personnes apprennent bien grâce à des échanges verbaux avec les autres ou … avec elles-mêmes. Lorsqu’elles travaillent seules, elles se parlent en silence ou à voix haute. C’est donc à partir d’éléments purement symboliques et arbitraires, puisque d’une langue à une autre, la terminologie change, que ces gens, jeunes ou moins jeunes, réussissent à construire des associations analogiques manifestes de leur compréhension.

Pendant ce temps, d’autres personnes réussissent à comprendre en observant des dessins ou des objets. La vue de ces divers éléments constitue le support qui, pour ces gens, est le plus aidant au moment d’acquérir une compréhension quelconque. Ainsi, Albert Einstein disait qu’il pensait par images. Par ailleurs, La Garanderie a découvert que les visuels sont avantagés pour plusieurs apprentissages mathématiques. Cela semble évident en géométrie, en mesure et en statistiques lorsqu’on utilise des graphiques, mais cela est aussi fort utile afin de "photographier mentalement" la disposition des nombres lors d’un calcul écrit.

Il existe enfin un dernier support, le préféré des élèves que l’école néglige le plus, l’objet lui-même. Plusieurs élèves apprennent beaucoup mieux lorsqu’ils peuvent manipuler les objets qui provoquent la formation d’images mentales. Observez quelques mécaniciens au travail, vous verrez que plusieurs solutionnent des problèmes simplement en manipulant des objets. S’ils travaillent en équipe, souvent, ils ne se parlent même pas. Chacun comprend ce que l’autre fait sans échanges verbaux. Certes, ils se servent de leurs yeux, mais c’est surtout par le toucher, par la manipulation qu’ils apprennent et qu’ils agissent. Des ingénieurs, des architectes, des chirurgiens agissent de la même façon.

À l’école, les élèves qui apprennent plus facilement grâce aux échanges verbaux sont avantagés lorsque les enseignants sont peu démonstratifs. À l’autre extrême se situent les élèves qui apprennent le mieux lorsqu’ils peuvent manipuler des objets. Malheureusement, la manipulation est perçue comme ce dont il faut s’affranchir le plus rapidement possible. Priver certains élèves de la manipulation lorsqu’ils apprennent et aussi lorsqu’ils veulent démontrer un apprentissage, lors d’un examen par exemple, c’est diminuer les chances de succès de ces élèves, c’est leur créer un handicap, c’est transformer des élèves doués en élèves en difficulté. Qu’arriverait-il si nos élèves, qui apprennent bien grâce aux échanges verbaux, se voyaient forcés d’étudier dans une école d’enfants sourds, s’ils se voyaient forcés d’apprendre par signes ou par manipulation ? Plusieurs d’entre eux deviendraient des élèves en difficulté.

Revenons à l’expérience du crayon. Comment avez-vous réussi à conserver votre attention sur ce crayon ? L’avez-vous posé devant vous ou tenu dans vos mains sans le manipuler en vous le décrivant avec des mots, en vous racontant ce qu’il représente pour vous, ce que cette invention a apporté à l’humanité, comment il a peut-être été construit, …? Ou l’avez-vous examiné sans dire un mot, sans le manipuler vraiment ? Bref, est-ce que votre attention a été soutenue grâce à un défilement d’images ? Ou, l’avez-vous manipulé en le tournant dans tous les sens, en observant ses aspects doux ou rugueux, sa dureté, sa rigidité, …? Cette expérience peut vous permettre de percevoir quel est votre support préféré lorsque vous devez vous concentrer, lorsque vous devez apprendre ou présenter ce que vous avez compris.

Si vous tentez cette expérience avec des élèves, variez l’expérience comme suit :
• pour un groupe, le crayon devra être déposé devant l’élève; 
• pour un autre groupe, les élèves tiendront leur crayon dans leurs mains mais auront les yeux fermés (observez ceux qui manipulent vraiment le crayon contrairement à ceux qui ne font que le tenir); 
• pour un dernier groupe, le crayon sera déposé devant chacun et ils auront les yeux fermés. 

Demandez aux élèves de lever la main dès que leur esprit s’égare. Demandez-leur comment ils ont procédé.

RÈGLE NUMÉRO 4 : Permettre à tous les élèves, pour toutes les activités d’apprentissage et d’évaluation, d’utiliser les trois supports favorisant la formation d’images mentales.

Afin d’être bien compris, cela signifie que, lors des activités d’apprentissage, on permettra aux élèves de travailler en utilisant du matériel, des dessins et des échanges verbaux. On évitera de dévaloriser un support. On évitera les remarques peu subtiles du genre : "Elle, elle peut réussir sans matériel ou sans dessiner.". D’ailleurs, plusieurs élèves habiles avec des représentations symboliques écrites ou verbales ainsi qu’avec des dessins, s’organisent très mal avec du matériel parce qu’ils n’ont pas d’ordre. Ce qui prouve que la capacité à apprendre au moyen d’échanges verbaux n’implique pas celle d’apprendre avec du matériel. Le matériel et les dessins devraient aussi être permis lors des évaluations. En mathématiques, les algorithmes et les formules sont habituellement des procès-verbaux du travail concret et c’est ce travail concret qui, par analogies, donne un sens au travail symbolique oral ou écrit. Enlever le matériel, c’est creuser un fossé entre les mathématiques et leur raison d’être qui est la compréhension de notre environnement afin de mieux interagir sur lui.

En terminant, saviez-vous qu’à l’origine le mot calculer signifiait "trouver des nombres grâce à des manipulations de calculus ou de cailloux" ? Saviez-vous qu’au Moyen Âge un individu démontrait son érudition en calculant sur ses doigts ? Saviez-vous que les Chinois calculent avec des bouliers et non avec des symboles écrits ?
Robert Lyons