MATHADORE
    Volume 6 Numéro 217 – 14 mai  2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

 La structure des programmes de mathématiques (2)

   Mathadore 216  a évoqué le fait que les programmes sont structurés en fonction d’une complexité croissante du symbolisme. Or cette augmentation de complexité du symbolisme correspond rarement à une augmentation de complexité des concepts que le symbolisme évoque. Ainsi, l’élève de six ans apprendra à résoudre 3 + __ = 5 et il attendra six années de plus avant d’apprendre à résoudre 3 + x = 5. Ce qui est fascinant, c’est que, lors des premières leçons portant sur la résolution d’équations avec des inconnues telles x ou y, beaucoup d’élèves sont en difficulté. Pourtant, l’élève de sept ans, qui sait résoudre 3 + __ = 5, solutionne facilement 3 + x = 5 sans qu’il soit nécessaire de lui administrer un cours d’algèbre.

Pire, plusieurs élèves de douze ou de treize ans ne croient pas que x représente le nombre 2 dans 3 + x = 5 parce que l’algèbre est nouvelle pour eux, parce qu’ils croient qu’ils ne peuvent trouver la valeur de x sans aide, parce que, si nous avons attendu six ans avant de passer de 3 + __ = 5 à 3 + x = 5, c’est que x doit représenter autre chose que le nombre 2, que l’élève pouvait trouver facilement cinq ans plus tôt.

Quelle différence existe-t-il, en terme de concept mathématique, entre 3 +__ = 5  et  3 + x = 5 ? Aucune. La différence est strictement symbolique et la perception habituelle selon laquelle l’algèbre serait plus difficile que la simple arithmétique est loin d’être fondée. Les élèves le remarquent rapidement si la séquence d’enseignement est modifiée.

En enseignement constructiviste, nous l’avons vu dans  Mathadore 216 , la première préoccupation, au moment d’établir la séquence d’enseignement, est le degré de complexité des consignes à donner à l’élève. Bref, on doit s’assurer qu’il comprenne de quoi il s’agit pour qu’il puisse tenter d’élaborer une solution.

Il existe aussi une seconde préoccupation lors de la construction d’une séquence d’enseignement, l’évolution des concepts mathématiques. En terme de concepts, quelles différences y a-t-il entre la résolution de :

a) 31 + 52 ;    3,1 + 5,2 ;      ;     (3x + 1y) + (5x + 2y) ?
Solutions : 83 ;     8,3 ;     8  ;      8x + 3y.

b) 12 x 13 ;     1,2 x 1,3 ;          ;         (1x + 2y) (1x + 3y) ?
Solutions : 156 ;     1,56 ;      1 unité +   ;      1x² + 5xy + 6y².

Tout cela se ressemble beaucoup n’est-ce pas ? Imaginons maintenant que nous nous préoccupions du développement des concepts parallèlement à la complexité des consignes.

Proposons aux élèves de huit ans et plus (Plusieurs élèves de six ans y parviennent.) de construire un carré en utilisant le matériel de base dix. Ils devront prendre 4 carrés de 10 cm sur 10 cm, 20 bâtonnets de 10 cm sur 1 cm et 25 carrés de 1 cm sur 1 cm.

Voici une solution possible, les autres sont équivalentes.

    

Le carré construit peut être décrit de diverses façons :

- 25 cm x 25 cm = 625 cm²
- 25 x 25 = 625
- 2,5 x 2,5 = 6,25
- (2x + 5y) x (2x + 5y) = 4x² + 20xy + 25y²
-   
- 15 x 15 = 225

Le travail concret est relativement facile. En ce qui concerne le concept, il est toujours le même, il s’agit d’extraire la racine carrée de six nombres différents :

a) 625 m²
b) 625
c) 6,25
d) 4x² + 20xy + 25y²
e)  
f) 225

Lorsque les élèves ont compris qu’il faut construire un carré avec leur matériel, de quelle façon croyez-vous qu’ils préfèrent que la description symbolique du matériel leur soit donnée ? N’hésitez même pas, ils choisissent toujours la description algébrique : 4x² + 20xy + 25y². Ils disent qu’en algèbre on ne leur cache rien. Ils ont raison. En algèbre, on leur mentionne de façon très claire que le matériel à utiliser  est 4 grands carrés (4x²), 20 bâtonnets (20xy) et 25 petits carrés (25y²). Les représentations 625 m², 625 et 6,25 ne sont pas aussi claires puisque, par exemple, 625 devra être remplacé par 400 + 200 + 25 c’est-à-dire : 4 centaines (4 grands carrés), 20 dizaines (20 bâtonnets) et 25 unités (25 petits carrés).

Cela devient plus complexe avec . Il faut conserver 4 unités (les 4 grands carrés) et transformer 3 unités en septièmes. Nous obtenons 21 septièmes (21 bâtonnets). Lors de la construction du carré, après avoir installé les quatre grands carrés et le plus de bâtonnets possibles, il restera un de ces bâtonnets qui sera transformé en sept petits carrés. (Chaque bâtonnet représente un septième de l’unité, donc sept quarante-neuvièmes, qui est la valeur d’un petit carré.)

En ce qui concerne 225, demander d’extraire la racine carrée de ce nombre ne conduira pas à la construction vue précédemment. Cependant, cette construction existant, il est possible de la voir comme illustrant 15 x 15 = 225. Considérons que les côtés représentent non pas 20 + 5, mais 20 – 5, donc 15 à la place de 25. Les grands carrés représentent la multiplication 20 x 20 = 400. Chaque  rectangle  représente  la  multiplication 20 x (– 5) = – 100. Et la dernière région représente la multiplication (– 5) x (– 5) = 25. 
D’où (20 – 5) x (20 – 5) = 400 – 100 – 100 + 25 = 225.

En   structurant  un  programme  en  fonction d’une complexification plus ou moins réelle  (3 + __ = 5 et 3 + x = 5) du symbolisme, ce qui est perdu, c'est souvent la compréhension des concepts représentés par ces symboles. De plus, les séquences sont beaucoup trop longues et cette longueur empêche de voir que, finalement, il s’agit des mêmes concepts représentés au moyen de systèmes symboliques différents.

Un dernier exemple : qu’est-ce qui se cache derrière les exposants positifs, négatifs ou nul ? Règle générale, les exposants positifs sont abordés vers l’âge de dix ans : 
6² = 6 x 6;    5³ = 5 x 5 x 5. L’exposant zéro est vu une ou deux années plus tard : 
5° = 1 ;    1,5° = 1,   x° = 1… Et enfin, les exposants négatifs sont vus vers l’âge de quatorze ou quinze  ans : 5-² = 0,04;   2-² = ¼.

Cette séquence axée sur le symbolisme permet à très peu d’étudiants de comprendre que l’exposant représente simplement un rapport entre deux nombres, entre un dividende et un diviseur, entre un numérateur et un dénominateur. Observez ce qui suit.

a)  

b)   

c)   

En (a), il y a deux « 5 » de plus en haut qu’en bas : 5+² ou 5².

En (b), il y a trois « 6 » de moins en haut qu’en bas : 6-³.

Enfin, en (c), il n’y a ni plus ni moins de « 7 » en haut qu’en bas : 7° = 1.

Un jeu d’enfant dans une séquence axée sur le constructivisme où on abordera les exposants positifs, négatifs et nul en parallèle en demandant aux élèves de décrire ce qu’ils voient. On notera ensuite cela avec des exposants.

Cet exemple montre à quel point la séquence traditionnelle des programmes au sujet des exposants est nuisible. Par contre, il montre aussi l’économie de temps et la compréhension qui ressortent d’une séquence constructiviste où, et nous l’avons fait à de nombreuses reprises, il ne faut qu’une quinzaine de minutes aux élèves de dix ans pour comprendre, entre autres, pourquoi 4° = 1.
 

Robert Lyons