MATHADORE
    Volume 6 Numéro 216 – 7 mai 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

La structure des programmes de mathématiques (1)

De façon générale, les programmes proposent des séquences d’apprentissages qui évoluent du simple vers le complexe. Voici deux séquences, laquelle procède du simple vers le complexe ?

1. Multiplication; division; racine carrée.

2. Racine carrée; division; multiplication.

Si vous avez choisi la première séquence, il s’agit de la séquence habituelle que l’on retrouve dans les programmes, elle  procède du simple au complexe.

La deuxième séquence n’existe dans aucun programme et pourtant, elle aussi procède du simple au complexe.

En fait, la première séquence tient compte de la complexification du symbolisme mathématique alors que la seconde s’attache plutôt aux consignes qui devront être données aux élèves afin qu’ils puissent comprendre et résoudre un problème.

Qu’est-ce qui est plus simple en ce sens ?

1. Prends 25 tuiles carrées et construis, avec toutes ces tuiles, un dallage carré.
2. Prends 24 tuiles carrées et construis, avec toutes ces tuiles, un rectangle dont la largeur correspond à la largeur de 3 tuiles.
3. Construis un dallage rectangulaire dont la largeur correspond à la largeur de 4 tuiles et dont la longueur correspond à la largeur de 6 tuiles.

Remarquez la longueur de ces trois énoncés et l’augmentation, d’un énoncé à l’autre, du nombre de données, pourtant minimales dans chaque cas. Simplement en ce qui concerne les énoncés, le premier est beaucoup plus simple que le dernier. Ce n’est pas tout, faire un carré avec 25 tuiles est plus facile que faire un rectangle avec 24 tuiles en respectant une largeur donnée. Pour que les élèves comprennent ce dernier problème, nous sommes souvent obligés de dessiner un rectangle ayant la largeur donnée et ouvert sur un côté en demandant aux élèves de daller aussi long que possible de ce corridor.

Mais le vrai problème apparaît avec la construction du rectangle dont les dimensions des côtés seulement sont données. Les élèves, ne sachant pas combien prendre de tuiles, commencent souvent par construire un côté avec 4 tuiles puis un côté perpendiculaire avec 6 tuiles comme suit.

 
                                                   
S’ils dallent ensuite l’intérieur de cet angle pour compléter un rectangle, lorsqu’ils en dénombrent les tuiles, ils en comptent 24 pour le rectangle et leur ajoutent les 10 tuiles placées en premier. Il est très souvent nécessaire de dessiner un rectangle ayant les mesures voulues et de demander ensuite aux élèves de le daller. Une difficulté supplémentaire, dans ce dernier problème, provient du fait que, contrairement aux deux problèmes précédents, les élèves ne savent pas combien de tuiles il faut prendre.

La séquence qui vient d’être décrite étudie d’abord la racine carrée, extraire une racine carrée, c’est construire un carré avec un nombre donné, ici 25 tuiles, et en donner ensuite la racine, c’est-à-dire la longueur de son côté, ici 5 fois la largeur d’une tuile. La racine carrée de 25 est donc 5.

Le problème suivant demande de diviser 24 par 3. Le nombre 24 représente l’aire du rectangle à daller, le nombre 3, sa largeur. Il faut trouver sa longueur, ici 8 unités.

Enfin, le dernier problème demande de multiplier 4 par 6.

Si, lors de l’établissement d’un programme construit à partir d’un symbolisme de plus en plus complexe, on place d’abord la multiplication, c’est parce que sa technique symbolique demande seulement la connaissance de la multiplication et de l’addition.

Plus complexe, la division demande la connaissance de la multiplication, de la soustraction, de la division et de l’addition.

L’algorithme d’extraction de racine carrée demande lui aussi d’utiliser les quatre opérations arithmétiques de base en plus d’être capable d’estimer la racine carrée de petits nombres.

Entre une séquence construite en fonction du symbolisme et une autre qui tient d’abord compte des énoncés à présenter aux élèves, laquelle choisir ?

La seconde séquence permet aux élèves de comprendre qu’en fait multiplier c’est trouver l’aire d’un rectangle, connaissant les longueurs de ses côtés. Elle permet aussi de comprendre que toute division peut être associée à la construction d’un rectangle dont on connaît l’aire et la longueur d’un côté. Enfin elle permet de comprendre qu’extraire une racine carrée, c’est construire un carré afin de trouver la longueur de ses côtés.

Quelle séquence choisir ? Certainement celle qui permet la formation d’une image mentale simple capable d’illustrer toute multiplication, toute division, toute extraction de racine carrée. Une image tellement simple qu’elle représente la forme la plus répandue dans chacune de nos maisons. Or l’apprentissage à partir de la séquence construite en fonction du symbolisme vise d’abord et avant tout la maîtrise du symbolisme. Elle ne garantit nullement que les élèves comprendront de cette façon que la fonction multiplicative est associée au rectangle, que la racine carrée correspond à la longueur du côté d’un carré. La séquence axée sur le symbolisme ne garantit donc pas que l’élève sera capable de se construire une image mentale de référence qui le guidera dans son travail. Une image mentale qui sera beaucoup plus propice par la suite au transfert qu’un ensemble de procédures symboliques.

Par contre, la séquence axée sur la compréhension du contexte et sur la complexification des consignes des problèmes, oblige l’élève à se donner cette image de référence qui le guide dans son travail et qui est à la base non seulement  des algorithmes de calcul, qui permettent de multiplier, de diviser, de factoriser et d'extraire la racine carrée, mais qui est aussi à la base de la terminologie relative à la fonction multiplicative.

Le mot facteur signifie celui qui fait. Or un rectangle est construit au moyen de côtés dont les longueurs constituent les facteurs du nombre qui représente l’aire de ce rectangle.

Avec quelques cubes construisez deux rectangles de même hauteur. Cette hauteur commune représente le facteur commun entre ces deux rectangles, c’est-à-dire entre les nombres qui représentent les aires de ces rectangles.

Un nombre est dit premier parce qu’on ne peut faire qu’un seul rectangle en prenant ce nombre de cubes.

Pour trouver tous les facteurs d’un nombre, construisez tous les rectangles possibles qui ont ce nombre comme aire. Les côtés de ces rectangles sont les facteurs de ce nombre.

Vous voulez trouver les multiples de 5 ? Construisez des rectangles dont la hauteur est 5. Les aires de ces rectangles sont des multiples de 5.

Et vous, qui avez étudié à partir de programmes construits en fonction du symbolisme, aviez-vous déjà associé l’extraction de la racine carrée à un carré ? Si ce n’est pas le cas…
 

Robert Lyons

La semaine prochaine : Autre différence majeure entre un programme traditionnel et un programme axé sur l’approche constructiviste.