MATHADORE
    Volume 6 Numéro 215 – 30 avril 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                   L’apprentissage par la «découverte»

À l’extérieur de l’école les enfants découvrent par eux-mêmes de nombreux concepts, des règles de vie, des façons d’être, ... D’ailleurs les grandes étapes du développement intellectuel des enfants sont souvent ignorées par les adultes qui les entourent. Qui sait par exemple que, vers l’âge de six mois, l’enfant comprend qu’une personne ou un objet, qui disparaît pour un moment, existe toujours ? Qui explique cela à l’enfant de six mois ?

Ce qui est fascinant aussi, c’est qu’en général, les enfants font, à l’extérieur de l’école, à peu de choses près les mêmes découvertes vers le même âge. Et pourtant, à l’école…

Saviez-vous que les francophones et les anglophones du Québec n’effectuent pas de la même façon la division 45 219 ÷ 28 ? Par ailleurs, les francophones du Québec utilisent un algorithme différent de celui des francophones de France pour la soustraction de nombres entiers. Ce qu’il y a de remarquable cependant est que, lorsqu’il m’est arrivé de rencontrer des enseignants qui « laissent les élèves découvrir leurs propres algorithmes », les élèves découvraient l’algorithme connu de l’enseignant, aucun autre, sauf très rarement. C’est vraiment extraordinaire, vous avez des élèves francophones et des élèves anglophones qui habitent le même quartier, qui pratiquent dans les mêmes équipes des sports pour lesquels ils découvrent des stratégies similaires. Et puis, entre deux activités sportives, comme ils fréquentent des écoles différentes, ils «découvrent par eux-mêmes» des algorithmes de calcul différents!

Il m’est arrivé à plusieurs reprises de demander à des élèves de dix à douze ans, qui n’avaient jamais effectué de division de fractions, de compléter . La réponse vient rapidement car ils divisent 12 par 3 et 35 par 7 pour obtenir . Les enseignants qui ont assisté à cela paniquent souvent en pensant que cette technique ne fonctionnera pas toujours et que les élèves risquent de se retrouver en difficulté plus tard. Ils ont raison si nous continuons à proposer des divisions qui s’effectuent toujours de cette manière. Aussi, ai-je pris l’habitude de proposer immédiatement . Les élèves constatent que leur technique ne fonctionne plus et proposent habituellement de placer ces fractions sur le même dénominateur. Ils obtiennent alors  . La difficulté persiste avec les numérateurs. Il suffit alors d’écrire  , car il faut diviser 10 par 9, et d’écrire sous   le nombre 1 qui résulte de la division de 15 par 15. Les élèves mentionnent alors que diviser par le nombre 1 ne change rien et qu’on peut l’enlever.

Certains élèves veulent diviser tel qu’ils l’ont d’abord fait. Ils comprennent rapidement que  doit être remplacé par une fraction équivalente permettant la division directe. Selon leur habileté à construire des fractions équivalentes, ils parviennent éventuellement à remplacer   par   et à compléter  .

En passant, personne ne m’a jamais proposé de remplacer la division par   par une multiplication par  . Ce qui est bizarre, c’est que chaque fois qu’un enseignant m’a indiqué que ses élèves avaient découvert seuls l’algorithme de division de fractions, il s’agissait toujours de la «découverte» de l’algorithme traditionnel, celui de la pirouette de la deuxième fraction.

Enseigner par la découverte exige très souvent des modifications importantes dans les programmes. Si ces modifications ne sont pas faites l’enseignement risque d’être un échec. Dans un enseignement du type « tais-toi, écoute et reproduis », un enseignement dont les tenants affirment que la mémoire est la clé, si l’élève n’a pas un ou plusieurs préalables essentiels à l’invention autonome d’un concept, il peut s’en tirer très bien pourvu qu’il écoute et reproduise.

Prenons un exemple. Pour qu’il puisse inventer la numération positionnelle, un élève doit pouvoir considérer que, dans le nombre 25, le chiffre 2 représente à la fois des dizaines et des unités. Avant cela, il aura compris que, dans un dessin qui représente trois lions et deux ours, il y a plus d’animaux que de lions. Or, la nette majorité des élèves, qui abordent l’apprentissage de la numération positionnelle, ne réussissent pas le test des lions et des ours et croient qu’il y a plus de lions que d’animaux. Comment peut-on croire alors qu’ils comprennent la numération positionnelle ? Comment croire qu’ils sont en mesure de la «découvrir» par eux-mêmes ?

 Autre problème, le groupement d’unités en dizaines constitue un excellent moyen visant à mettre de l’ordre dans un ensemble d’objets à dénombrer. Or, autant pour un adulte que pour un enfant, ce besoin ne se manifeste que lorsqu’il y a au moins trente objets à dénombrer. En enseignement traditionnel, les élèves apprennent à former des dizaines dès qu’ils ont dix unités. Ils n’en voient pas la pertinence, mais feront des groupements suite à un modelage suffisant qui cache leur absence de compréhension et, éventuellement, ils réussiront à reproduire ce qui leur a été enseigné. Par contre, l’élève placé en situation de découverte n’inventera le groupement et la numération positionnelle que s’il a suffisamment d’objets à dénombrer pour que ce travail devienne difficile sans mettre de l’ordre dans ses objets. En conséquence, en apprentissage traditionnel, après l’étude des nombres de 0 à 9, on procède à l’étude des nombres de 10 à 19 et ainsi de suite, par tranches de dix. Cela ne peut fonctionner lorsqu’on utilise une approche par la découverte. Dans ce cas, après l’étude des nombres de 1 à 9, il faut immédiatement passer au dénombrement de quantités supérieures à trente et, même, supérieures à cinquante.
 
Bref, l’enseignement par modelage permet à l’élève de développer un certain degré de compétence en cachant des lacunes fréquentes. En enseignement par la découverte si l’élève ne maîtrise pas les préalables ou s’il ne perçoit pas la pertinence du problème, il ne découvrira rien. Cela permettra à l’enseignante de constater une difficulté et de donner à l’élève l’occasion de développer les concepts préalables.

Malheureusement les programmes qui, dans leurs principes directeurs, veulent favoriser l’enseignement par la découverte n’ont pas modifié les séquences d’apprentissage de façon à ce que l’élève ait en main les outils nécessaires à l’invention d’un concept ou d’un algorithme. De plus, aucun programme ne semble avoir mentionné les conditions incontournables qui font qu’un problème place réellement l’élève dans une situation qui lui permettra de découvrir quelque chose. Au lieu de cela, le Québec s’est lancé dans des situations problèmes rarement pertinentes et qui constituent une perte de temps considérable lorsqu’on considère le peu de contenu mathématique développé ou évalué malgré plusieurs heures de travail.

Bref, l’introduction des programmes manifeste des intentions qui sont excellentes. Malheureusement la description et l’organisation des contenus ne permettent pas à l’apprentissage par la découverte de réussir.

En ce qui concerne le nouveau programme du Québec, en mathématiques du moins, les deux ou trois fonctionnaires qui ont décidé du contenu du programme avaient au mieux une connaissance théorique de l’apprentissage constructiviste. Une connaissance qui permet d’écrire les principes d’un programme mais qui est largement insuffisante pour contrôler la rédaction du contenu de ce programme. Il en résulte que de nombreux manuels, qui ont camouflé leurs démarches d’enseignement non constructivistes sous la terminologie de la Réforme, ont été approuvés et sont considérés, bien à tort, par les adversaires de la Réforme, comme représentant l’esprit de cette Réforme. Et si la Réforme s’avère un échec, ce que nous ne souhaitons pas, les adversaires de cette Réforme demanderont un retour en arrière. Ce qui sera remarquable, c’est qu’ils exigeront l’utilisation obligatoire de programmes et de stratégies d’enseignement similaires à ce qui aura causé l’échec de la Réforme.

Robert Lyons

La semaine prochaine : Un exemple de modification majeure du contenu d’un programme lorsqu’on passe d’un enseignement de type explicite à un enseignement de type constructiviste.