MATHADORE
    Volume 6 Numéro 211 – 2 avril 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

       La soustraction : du concret au symbolique

Les trois derniers numéros de Mathadore ont présenté trois stratégies différentes en soustraction. Chacune de ces stratégies se traduit par un algorithme valable. Les activités concrètes de Mathadore 208 sont codifiées par l’algorithme de soustraction utilisé au Canada. Celles de Mathadore 209 se traduisent par l’algorithme utilisé en France. Enfin, celles de Mathadore 210 sont rarement codifiées sous la forme d’un algorithme écrit, mais peuvent l’être et aboutissent sur un algorithme fort efficace fonctionnant de gauche à droite.

Lorsque les élèves maîtrisent bien un algorithme concret, on peut leur montrer comment le traduire symboliquement. Il faut que chaque geste concret soit associé directement à sa notation.

On demandera donc à un élève de faire le travail concret et, parallèlement, on notera ce travail au tableau.

L’algorithme canadien

Soit la soustraction 403 – 165.

Élève : J’ai transformé une centaine de 403 en 10 dizaines. J’ai maintenant 3 c + 10 d + 3 u.

       

Élève : J’ai transformé une dizaine en 10 unités. J’ai maintenant 3 c + 9 d + 13 u.

      

Élève : Maintenant, je peux soustraire à chaque position.

Note : Soustraire dans un sens ou dans l’autre ne pose plus aucun problème. Le nombre 403 a été transformé afin de permettre de soustraire à chaque position. Notez donc les résultats des trois soustractions, de gauche à droite ou de droite à gauche tel que l’élève le décrira.

      

Dans l’algorithme canadien, la représentation symbolique du nombre duquel il faut soustraire est transformée afin de soustraire à chaque position en obtenant un reste positif.

L’algorithme français

Élève : J’ai ajouté 10 unités à 403 et obtenu 4 c + 13 u. Afin de maintenir constante la différence entre 403 et 165, j’ai ajouté une dizaine à 165 et obtenu 175.

      

Élève : J’ai aussi ajouté 10 dizaines à 4 c + 13 u, pour obtenir 4 c + 10 d + 13 u et j’ai augmenté d’une centaine 175 ou 1 c + (1 + 6) d + 5 u et obtenu 275.

      

Élève : Ensuite, j’ai effectué la soustraction à chaque position.

Notez-le dans l’ordre utilisé par l’élève.

     

L’algorithme français modifie les nombres originaux tout en maintenant constante leur différence.

L’algorithme avec les négatifs

Élève : a)  4 centaines – 1 centaine = 3 centaines
            b)  0 dizaine – 6 dizaines =  – 6 dizaines
            c)  3 unités – 5 unités =  – 2 unités

     

Élève : 300 – 60 = 240

      

Ce dernier algorithme peut-être noté plus rapidement. Après avoir effectué 4 – 1 = 3, un regard rapide sur les nombres de la colonne des dizaines, montre clairement qu’il faudra transformer une centaine en dix dizaines. Après cette transformation, il restera deux centaines. On peut écrire « 2 » immédiatement.

De même, à la colonne des unités, il est clair qu’il faudra ajouter dix unités, donc, après avoir effectué 10 – 6 = 4 (colonne des dizaines), on retranche immédiatement une dizaine et on note 3 dans cette colonne. Il reste à effectuer 13 – 5.

Un problème apparaît cependant pour une soustraction telle 456 – 158. Après avoir effectué 4 – 1 = 3, on constate qu’aux dizaines on retrouve le même nombre. Or, ici, il est clair qu’un emprunt sera nécessaire sur le 5 de 456 à cause de la soustraction à effectuer à la position des unités. Ce serait fort différent pour la soustraction  456 – 152. Donc, lorsque le même nombre apparaît dans la même colonne, il faut tout simplement aller voir les nombres de la colonne suivante et appliquer la règle vue précédemment. Cela peut sembler compliqué, mais il vous faudra moins de cinq minutes pour maîtriser cet algorithme. Après tout, après avoir soustrait dans une colonne, il suffit de regarder les nombres de la colonne suivante. S’ils sont identiques, on va à la colonne suivante. Lorsque les nombres ne sont pas identiques, si, dans cette colonne, le nombre duquel il faut soustraire est plus grand que l’autre, on note tel quel le résultat de la soustraction effectuée dans la colonne précédente. Si c’est le contraire, on soustrait un au résultat de la soustraction.
 

Robert Lyons