MATHADORE
    Volume 6 Numéro 208 – 12 mars 2006
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

                Vers les algorithmes

Après les premières activités pendant lesquelles les élèves ont pu se familiariser à la fois avec la numération positionnelle et avec la superplanche, il est temps de passer aux décompositions numériques qui visent directement certaines opérations.

Les activités proposées dans Mathadore 207 demandaient à l’élève de décomposer de multiples façons des nombres divers. Cette fois, les élèves devront transformer un nombre en respectant une condition précise. Le nombre de réponses possibles sera réduit considérablement.

Première activité

Demandez à vos élèves de représenter, sur leur superplanche, le nombre 412 en n’utilisant que trois jetons. (Donc un jeton sur le 4 de la colonne de gauche, un autre sur le 1 de la colonne du centre et un dernier sur le 2 de la colonne de droite.) Vérifiez si les élèves ont réussi en affichant 412 sur votre superplanche.

Demandez aux élèves s’il est possible d’enlever deux centaines dans la colonne de gauche, mais sans qu’ils les enlèvent pour l’instant. Est-ce possible d’enlever deux dizaines dans la colonne du centre ? (Non, puisqu’il n’y en a qu’une.) Et, est-ce possible d’enlever deux unités dans la colonne de droite ?

Seules les dizaines posent un problème. Demandez aux élèves de transformer le nombre 412 afin que, dans chaque colonne, il soit possible d’enlever 2, c’est-à-dire de glisser le jeton de deux cercles vers le bas.

Notes :

1. Des élèves ajouteront une ou plusieurs dizaines au centre sans enlever de centaines.
2. Des élèves ajouteront dix dizaines au centre sans échanger une centaine.

Dans chaque cas, invitez-les à vérifier si leur superplanche illustre encore le nombre 412. Rappelez-leur qu’il faut illustrer 412 d’une façon telle qu’à chaque colonne on puisse enlever le nombre 2.

Lorsque les élèves auront illustré correctement 412, invitez-les à vous prouver que leur réponse est valable en montrant qu’ils peuvent réduire ce nombre de deux dans chaque colonne en glissant un jeton de chaque colonne de deux positions vers le bas.

Deuxième activité

Même procédé que dans l’activité précédente avec les nombres et les conditions suivantes. Cependant, cette fois, pour que vos élèves se souviennent du nombre original, notez-le sur votre superplanche avec des jetons bleus. De plus, notez avec des jetons rouges le nombre qui doit être enlevé.

Lorsque les élèves auront transformé leur nombre original, vérifiez avec eux si ce nombre a été gardé constant malgré les transformations subies.

Placez ensuite les jetons rouges sur leur superplanche en demandant si, dans chaque colonne, le jeton bleu représente une quantité suffisante afin qu’on puisse enlever la quantité représentée par le jeton rouge.

a) 354 : il faut enlever 1 à gauche, 2 au centre et 6 à droite ;  
    (Solution : 3 c + 4 d + 14 u)
b) 527 : il faut enlever 4 à gauche, 3 au centre et 5 à droite ; 
    (Solution : 4 c + 12 d + 7 u)
c) 407 : il faut enlever 8 à droite ; 
    (Solution : 3 c + 9 d + 17 u)
d) 615 : il faut enlever 5 dans chaque colonne ; 
    (Solution : 5 c + 11 d + 5 u)
e) 345 : il faut enlever 2 c + 8 d + 5 u ; 
    (Solution : 2 c + 14 d + 5 u)
f) 699 : il faut enlever 3 à gauche, 7 au centre et 5 à droite ; 
    (Solution : aucun changement n’est requis.)
g) 800 : il faut enlever 3 à gauche, 5 au centre et 7 à droite.
    (Solution : 7 c + 9 d + 10 u)

Proposez d’autres exercices semblables aux élèves, mais ne passez pas encore à la représentation symbolique du travail effectué. Il est en effet probable que le travail de vos élèves soit différent d’un élève à l’autre et qu’il se traduise par plus d’un algorithme. Il ne faut surtout pas exiger l’uniformité pour l’instant. Il suffit de s’assurer que les élèves comprennent bien les consignes et les exécutent avec succès. Le passage aux techniques écrites viendra un peu plus tard, lorsque le travail sur la superplanche deviendra plus complexe et qu’il sera nécessaire de noter chaque étape afin de se rappeler de chaque geste posé.

Robert Lyons