MATHADORE
    Volume 6 Numéro 198 – 27  novembre 2005
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique

   Le stade opératoire concret

Lorsque l’élève rencontre les difficultés décrites dans  Mathadore 197, il n’est pas opératoire concret. Il est à un stade de développement où il ne peut tenir compte à la fois de deux propriétés d’un objet ou d’un ensemble d’objets. Il faut lui permettre de devenir opératoire avant qu’il aborde la numération positionnelle.

Différents termes du langage mathématique décrivent ce que l’élève opératoire comprend :

1. L’intersection :

Les pièces qui seront insérées dans la section centrale appartiennent à la fois à l’ensemble des triangles (cercle de gauche) et à l’ensemble des pièces bleues (cercle de droite), ce sont les triangles bleus.

2. La double inclusion :

Julie appartient à la fois à l’ensemble des élèves de la classe de 3e et à l’ensemble des élèves de l’école.

3. La multiplication :

La table de Pythagore originale, celle qui est devenue la table des combinaisons de base de la multiplication, n’était à l’origine composée que de cases carrées insérées dans des rectangles.
       
 

Les illustrations précédentes montrent les deux sections correspondantes de la table originale de Pythagore et sa représentation moderne. Avec la table originale, il était facile de comprendre pourquoi 4 (2 fois 2) est un nombre carré ou encore que les rectangles faits avec un côté de 3 unités de longueur (fait – facteur) contiennent 3, 6, 9,… cases (multiples de 3). La table moderne n’illustre plus aussi clairement, entre autres, que 4 ou 9 sont des nombres carrés dont la racine (ou le côté) est 2 ou 3 selon le cas.

Comment savoir si l’élève est opératoire et comment l’aider  à le devenir. ?

Il serait un peu long de décrire ici un ensemble pertinent d’activités qui permettent de répondre à cette question. Ne désespérez pas, sous le lien suivant se cachent un tel ensemble d'activités. Vers l'opératoire  Elles peuvent servir :

1. Afin de savoir si l’élève est opératoire ;
2. À faire subir un traitement choc à l’élève afin qu’il devienne opératoire ;
3. À évaluer si l’élève est prêt à aborder l’étude de la numération positionnelle.

L’activité avec les lions et les ânes constitue le test ultime avant d’aborder la numération positionnelle. Dans cette activité, une illustration de 3 lions et de 2 ânes est montrée à l’élève et on lui demande s’il y a plus de lions ou plus d’animaux. L’élève qui considère qu’il y a 3 lions et 2 animaux, donc qu’il y a plus de lions, ne réussit pas à associer à la fois les lions à l’ensemble des lions et à celui des animaux. Il est évident que lorsqu’il devra comprendre que le 2 du nombre 25 représente à la fois 2 dizaines et 20 unités, il n’en sera pas capable.

De la même façon, si l’élève a devant lui 2 ensembles de dix jetons et 5 autres jetons, il décrira cela en disant qu’il y a 2 paquets de dix et 5 jetons ou unités. Pour lui les jetons insérés dans les paquets de dix ne sont plus des unités. Lorsqu’on lui demande combien il a de jetons, il répond 5 et si nous lui demandons combien il y a de jetons en tout, en insistant afin qu’il considère tous les jetons, ils compte chaque jeton un à un au lieu de dire « 10, 20, 21, 22, 23, 24 25 ».

Robert Lyons