MATHADORE
    Volume 6 Numéro 196 – 13  novembre 2005
L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématique
Les entiers relatifs et l’algèbre
avant la numération positionnelle
Les activités proposées dans Mathadore 190 à 195 permettent d’enseigner les entiers relatifs et l’algèbre bien avant la numération positionnelle. Cette séquence est fort différente de celle des programmes dans lesquels la numération positionnelle est abordée dès l’âge de six ans alors que l’étude des entiers relatifs est repoussée vers l’âge de dix ans et l’algèbre deux années plus tard. Quelle est la raison de cette inversion ?

Si vous interrogez quelques élèves de cinq à huit ans, vous constaterez que plusieurs d’entre eux ne parviennent pas à tenir compte parallèlement de deux propriétés d’un même objet. On dit alors qu’ils sont pré-opératoires. Montrez-leur trois lions et deux ours et demandez-leur s’il y a plus de lions ou plus d’animaux, ils répondront « Plus de lions. » Si vous leur demandez de justifier cette réponse, ils montreront qu’il y a trois lions et deux animaux (les 2 ours). En poussant plus loin, il devient vite évident que les élèves ne réussissent pas à considérer les lions à la fois comme des lions et des animaux.

En numération positionnelle, dans un nombre tel 25, le 2 représente à la fois des dizaines et des unités, ce qui est beaucoup plus abstrait que les lions du problème précédent. Pour cette raison lorsque, en première année, la numération positionnelle est abordée dès l’automne, la majorité des élèves ne sont pas prêts et le démontrent en ne réussissant pas le problème des lions et des ours. Ils sont en échec.

Ce sera le premier échec réel qu’ils vivront en mathématiques et, ne pouvant comprendre, ils se contenteront de mémoriser. Cela deviendra vite une stratégie importante en apprentissage des maths : « Je ne comprend pas, c’est qu’il n’y a rien à comprendre, alors je mémorise ». Plus tard, ils se contenteront de mémoriser que pour diviser un nombre par une fraction, il suffit de multiplier le premier nombre par la fraction inversée, que 60 = 1 et qu’un moins multiplié par un moins devient un plus.

L’apprentissage des entiers relatifs et de l’algèbre de base n’exige pas que l’élève considère parallèlement deux propriétés d’un même objet. En algèbre, 3a + 2b = 3a + 2b, on ne peut transformer un a en un certain nombre de b, sauf si une règle de transformation est donnée, mais dans ce cas, la lettre devenue inutile sera remplacée.

En ce qui concerne les relatifs, il suffit de demander à un enfant de cinq ans qui possède trois jetons de nous en remettre quatre pour qu’il dise qu’il lui en manque un (3 – 4 = -1). L’enfant de cinq ans distingue très bien une situation où il y a un manque de celle où il y a un surplus.

En permettant aux élèves d’aborder systématiquement l’apprentissage des mathématiques par l’étude des nombres de – 9 à + 9 et par l’étude des bases de l’algèbre, ceux-ci seraient confrontés pour plusieurs mois à des problèmes qu’ils peuvent comprendre. Cela leur donnerait quelques mois de plus pour devenir opératoires, mais surtout, cela leur permettrait de percevoir que les mathématiques s’apprennent par compréhension et par raisonnement d’abord. Par la suite, la mémorisation de certains termes et de certaines techniques peut entrer en jeu, jamais avant.
 

Dans Mathadore 195 il a été mentionné :

«Ainsi, on conviendra, par exemple, qu’au lieu d’écrire : 3 cuisinières électriques + 2 cuisinières électriques = 5 cuisinières électriques, il suffira de noter 3a + 2a = 5a. Ces deux notations supposent que les cuisinières électriques sont mathématiquement équivalentes entre elles.»

En fait, dans un énoncé mathématique, seuls des éléments du langage mathématique peuvent être utilisés. Or une cuisinière électrique n’est pas un élément du langage mathématique. La première égalité suppose donc qu’une propriété mathématique des cuisinières électriques est ce qui est sous-entendu, rien d’autre. Cette propriété est évidemment ici le nombre de cuisinières électriques, ce qui se résumera par 3 + 2 = 5. Il est possible que ce qui doive être considéré soit différent : le poids de chaque cuisinière, le volume que chacune occupe, son prix d’achat ou son prix de vente, … Et il est impératif alors que, d’une cuisinière à l’autre, la propriété considérée soit la même et que le nombre qui représente cette propriété soit le même. Ainsi, si le prix des cuisinières varie, les deux égalités notées plus haut n’ont plus aucun sens. 
Pour s’assurer que les unités que l’égalité représente sont de même nature ( des $, des m³, …), on indiquera la nature de l’unité et sa quantité. Les cuisinières électriques seront représentées par leur prix et par le nombre de cuisinières de ce prix : 
3 × 450$ + 2 × 450$ = 2250$.

Si la seule chose qui importe est la quantité de cuisinières, ce que nous appelons des unités en mathématiques, il suffira d’écrire 3 + 2 = 5, le terme unité étant sous-entendu lorsque rien d’autre ( $, cm, m², …) n’est noté.

En ce qui concerne l’équation 3a + 2a = 5a, – on dit équation plutôt qu’égalité  parce que la valeur d’au moins un symbole est inconnue –  lorsque la valeur du a sera connue, chaque a sera remplacé par cette valeur. Donc 3a + 2a = 5a constitue un énoncé très général dans lequel les a peuvent désigner des unités et nous obtenons alors 3 + 2 = 5 ou des $ et nous obtenons 3$ + 2$ = 5$. Les a peuvent aussi représenter des quantités, par exemple 5$ et alors nous obtenons: 
3 × 5$ + 2 × 5$ = 5 × 5$ et ensuite : 15$ + 10$ = 25$.

Robert Lyons