MATHADORE
    Volume 5 Numéro 187 - 29 mai 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

        Réussir en mathématiques est inexplicable.

Réussir en mathématiques c’est percevoir que faire des maths consiste à essayer de comprendre notre environnement et nos façons de penser. C’est savoir que les mathématiques sont cohérentes, qu’elles évitent les contradictions et les exceptions. Les mathématiques ne sont pas une question d’opinions, mais une question de preuves rigoureuses.

La très nette majorité des difficultés d’apprentissage en mathématiques provient de l’apprentissage et de la consolidation de concepts incorrects. Or, en mathématiques, les liens entre les divers concepts sont nombreux et si de tels liens conduisent à des contradictions ils préparent l’échec. Voici quelques exemples.

Exemples fréquents

1. La multiplication est une addition répétée (concept développé à 7 ou 8 ans)

                     (vers 12 ans)

            (-4) × (-5) = (+20)     /     (-4) + (-4) + (-4) + … = (+20) ???

                        a × a = ab     /     a + a + a +… = ab ???

2. Les exposants représentent une multiplication répétée : 73 = 7 × 7 × 7 (vers 10 ans)

                 60 = 1     /     6 × … = 1 ??? (vers 12 ans)
                5-3 = 0,008     /     5 × ??? = 0,008 ??? (vers 14 ans)

3. Pour additionner des nombres, il faut bien les aligner à partir de la droite (vers 7 ou 8 ans)

                            325 + 14 + 2     
                                   325
                                 +  14
                                 +    2
                                   341

                           3,25 + 1,4 + 2 (vers 10 ans)   
                                    3,25
                                 + 1,4
                                 + 2__ 
                                    6,65

Jamais je n’oublierai cet élève en difficulté de 10 ans qui, placé devant une contradiction semblable à celle évoquée précédemment au point 3, s’écrit : « Je déteste les maths ! En maths, ce qu’on apprend une année n’est plus vrai l’année suivante. Vive le français, vive la catéchèse, là on me dit les même choses depuis cinq ans ! »

Il y a vingt à vingt-cinq ans, lorsque j’évaluais un élève, il était facile d’identifier les volumes avec lesquels cet élève avait appris ses mathématiques. Deux indices : ses erreurs et ses trucs, lesquels provenaient clairement des volumes qu’il avait utilisés.

Il ne faut pas croire qu’un excellent prof peut compenser pour un volume médiocre. Ce que l’enseignant explique ou démontre au tableau sera rapidement oublié si le volume qui est entre les mains de l’élève ne va pas dans le même sens. Le volume, c’est le carnet de notes de l’élève, c’est le lien entre l’école et la maison. Toute personne qui veut aider un élève le fait à partir du manuel de l’élève et non à partir des explications de l’enseignant.

Nous vivons une réforme au Québec. Depuis quelques semaines de nouveaux volumes sont offerts pour l’enseignement en première année du secondaire. Que faut-il en penser? Jugez vous-même à partir de certains extraits d’un de ces volumes : À vos maths ! de Michel Coupal, chez Chenelière éducation.

Page 103 :

Dans une addition ou une soustraction, les quantités doivent être de même nature… Dans l’une des additions suivantes, il est impossible de trouver une nature commune aux termes. Repère cette addition et effectue les deux autres.

a) 4 chaises + 3 divans
b) 7 kilomètres + 5 secondes
c) 8 vélos + 3 planches à roulettes

Pour  l’auteur,  les  chaises  peuvent  s’additionner  avec  les  divans,  ce sont des meubles,  donc : 4 chaises + 3 divans = 7 meubles. La dernière addition peut aussi s’effectuer : ce sont des moyens de transport. Mais, les kilomètres ne peuvent s’additionner aux secondes car l’auteur n’a pas identifié de nature commune entre les kilomètres et les secondes. Pour les mathématiciens, mais aussi pour plusieurs élèves de douze ans, il s’agit pourtant d’unités de mesure, donc… Une telle définition de l’addition conduit aussi à calculer que 3 dizaines + 5 centaines = 8 paquets d’unités. Et, comme le «démontre » l’auteur, en page 102 : 4 pommes + 2 oranges = 6 fruits. Voilà un truc qui rend les mathématiques beaucoup plus faciles. Faciles et … incohérentes.

Évidemment, lorsqu’en page 139, ce qui correspond à environ une dizaine de jours d’enseignement plus tard, l’auteur demande :

Lorsque c’est possible, effectue les calculs suivants. Si c’est impossible, dis pourquoi.

               a) 5t + 6t                                       b) 6x + 4y…

on comprendra l’élève qui écrira : 6x + 4y = 10 lettres. Et on ne comprendra pas l’élève qui écrira que les x et les y ne s’additionnent pas parce qu’ils n’ont pas de nature commune !

En page 173, l’auteur commet une erreur qui était fréquente dans les manuels du primaire écrits il y a plus de vingt ans : 39 ÷ 7 = 5 reste 4.

En page 234, environ un mois plus tard, l’élève apprend que 7,2 ÷ 0,8 = 72 ÷ 8 et on lui demande d’effectuer 7,74 ÷ 6,1. Que dire à l’élève qui écrit : 
7,74 ÷ 6,1 = 774 ÷ 610 = 1 reste164 ? Donc 7,74 ÷ 6,1 = 1 reste 164 ? Je propose qu’on fasse un lien entre cette réponse étonnante et la multiplication des pains !

Malheureusement, ce volume contient d’autres surprises qui ne permettent pas de démontrer la cohérence des mathématiques. Pour réussir, l’élève devra régulièrement oublier ce qu’il a appris quelques jours plus tôt ou constater qu’en maths il ne faut pas trop se poser de questions. Et puisque les mathématiques semblent incohérentes, il ne lui restera qu’à mémoriser. Évidemment, il sera éventuellement accusé de ne pas faire de liens, de ne pas effectuer de transferts. Ce n’est qu’une simple question de survie ! Comment, dans de telles conditions, comprendre que des élèves réussissent en mathématiques ?

Je reconnais volontiers qu’un auteur et un éditeur déploient énormément d’efforts afin de rédiger un manuel scolaire et qu’ils y investissent énormément de temps et d’argent. Mais je constate aussi que les enfants, les parents et les enseignantes déploient des efforts encore plus considérables et qu’ils ont droit à des volumes de qualité dans lesquels l’auteur manifeste une compréhension adéquate des mathématiques et des processus et problèmes d’apprentissage.

Dans ma carrière j’ai vu trop d’élèves en pleurs, d’enseignantes et de parents découragés devant l’échec scolaire causé le plus souvent par des manuels inacceptables. De tels manuels ont démoli la confiance en eux-mêmes de trop d’élèves et ont obligé trop d’étudiants à abandonner des choix de carrière qui les intéressaient. Les coûts sociaux qui en résultent sont considérables.

Mentionnez en public que quelqu’un est un incompétent et vous risquez des poursuites en dommages et intérêts. Lorsqu’un manuel d’enseignement conduit des élèves à développer un sentiment d’incompétence, lorsqu’il conduit des parents à payer un professeur privé, lorsqu’il pousse des enseignantes à remettre en question à tort leurs compétences professionnelles, peut-on penser à des dommages et intérêts ?

Ah ! vos maths Monsieur Coupal !

Là, j’ai besoin de vacances ! Je vous en souhaite d’excellentes, anticipant le plaisir de vous retrouver en septembre.

Robert Lyons