MATHADORE
    Volume 5 Numéro 186 - 22 mai 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           Difficultés en résolution de problèmes (3)

L’élève qui comprend bien ce que sont les mathématiques, et qui devrait réussir en résolution de problèmes, peut très bien être en difficulté s’il n’a pas une bonne méthode de travail. Trop souvent, résoudre un problème est une course de type sprint et non une course de fond. Lors d’une course de cent mètres, le coureur donne tout ce qu’il a pendant une dizaine de secondes, durée totale de sa course. Pendant une course de fond, pendant un marathon, le coureur modifie sa vitesse. Il commence lentement, fait quelques pointes de vitesse, ralentit, s’ajuste en fonction du terrain, de sa fatigue, des autres coureurs.

Résoudre un problème ressemble davantage à courir un marathon qu’un sprint. Le travail se modifie régulièrement. Tantôt il est créatif, tantôt il est de type logique, tantôt il passe en mode d’exécution automatique. Essayons de décortiquer le processus de résolution de problèmes en phases distinctes et séquentielles.

1. L’étape analogique

Cette étape commence… avant la lecture du problème. Le fait de savoir qu’un problème mathématique, scientifique, éthique ou autre va nous être posé déclenche certaines perceptions, parfois certains préjugés, relativement au contexte du problème et au type de travail à accomplir. Les premiers mots du problème vont alors surprendre ou confirmer ce qui est attendu. Par la suite, et ce bien avant que la lecture soit complétée, diverses associations seront effectuées. L’élève qui ne fait pas de telles analogies, parallèlement à la lecture du problème, aura habituellement de la difficulté à comprendre le problème. Celui-là lit jusqu’au bout et attend une sorte de révélation. L’autre entrevoit divers contextes, en élimine quelques-uns, en évoque d’autres pendant sa lecture. Bref son cerveau est déjà très actif, il ne se limite pas au décodage. Souvent même, il interrompt la lecture du problème afin d’énoncer ses idées ou divers souvenirs.

La lecture terminée, l’élève qui n’a fait que du décodage se voit souvent obligé de relire le problème. Malheureusement, il le lira souvent de la même façon, sans que la révélation survienne à la fin. 

Après une première lecture, l’autre élève met le texte de côté et se lance dans une véritable tempête d’idées. Parfois il évoque un contexte différent, parfois une piste de solution. Aucune censure ne doit intervenir ici, l’échec consiste à ne pas avoir d’idées et non pas à générer des idées inadéquates.
 
 

2. L’étape logique

C’est le calme après la tempête. Les idées évoquées à la phase précédente seront analysées. Est-ce qu’elles sont pertinentes compte tenu des données du problème ? Les pistes de solutions proposées sont-elles réalisables ? A-t-on les informations, le temps, les moyens techniques pour les mettre en œuvre ? Compte tenu des résultats attendus, ces pistes peuvent-elles nous y conduire ? Comment se présentera la solution :  un graphe, un nombre, une équation, une construction, un oui ou un non, etc. ?

Une piste prometteuse de solution sera choisie suite à cette analyse. Cette solution sera alors construite pas à pas en vérifiant à la fois si l’orientation de la solution et les données du problème sont respectées. On s’assurera aussi que chaque étape de la solution est correcte, si ce qui est tenu pour prouvé l’est vraiment.

Cette deuxième partie du processus de résolution exige énormément d’attention. Tous les détails sont passés à la loupe. Le contexte demeure présent, mais il a été suffisamment encadré pour que la créativité ne soit plus de mise. Bref, il s’agit d’une phase de calcul logique où la rigueur mathématique prend le contrôle.

3. L’étape technique

Cette étape peut être insérée au besoin, et à quelques reprises, pendant le déroulement de l’étape logique. Pendant cette étape, une mesure ou un calcul numérique ou algébrique peut être effectué et valider le processus. Ce n’est pas toujours nécessaire puisque, à l’étape logique, il est possible de se contenter de structurer la solution en précisant, par exemple, qu’il faut d’abord recueillir des données, trouver ensuite une moyenne, multiplier par tel nombre, etc. Il est donc possible d’insérer, au besoin, les éléments de l’étape technique à l’intérieur de l’étape logique et il est aussi possible que l’étape logique soit complétée avant que l’étape technique prenne le relais. Une chose est certaine, l’étape analogique encadre tout le processus et l’étape logique encadre l’étape technique.

4. L’étape de la communication spécialisée

Certes, tout ce qui précède ne s’est pas effectué sans communication, mais ce n’est pas de cela dont il s’agit ici. Nous en sommes rendus à dresser un procès-verbal de la solution. Ce procès-verbal devra être le plus bref et le plus précis possible. En mathématiques, il existe un ensemble de symboles et de termes qui permettent de dresser de tels procès-verbaux, que nous désignons souvent au moyen de l’expression « solution du problème ». C’est un peu restrictif ! La solution englobe beaucoup plus que le procès-verbal du processus. Parfois même, ce procès-verbal n’est pas nécessaire.

Le procès-verbal, peut être un graphe, une formule, une égalité, etc. Il dépend du problème posé, ce qui ramène à la première étape afin de s’assurer que le contexte du problème est respecté.

Robert Lyons