MATHADORE
    Volume 5 Numéro 185 - 15 mai 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

           Difficultés en résolution de problèmes (2)

Dans  Mathadore 184 , il a été question de difficultés en résolution de problèmes résultant de surprotection. L’élève éprouve alors des difficultés à considérer globalement le problème, à le situer dans un contexte réaliste. Il en résulte soit qu’il attende qu’on lui indique ce qu’il faut faire, soit qu’il procède par essais et erreurs jusqu’à obtenir la réponse.

D’autres élèves, suffisamment autonomes pour comprendre un problème, ne cherchent pas à le comprendre parce que leur perception de ce qu’est un problème de mathématiques est telle qu’ils ne croient tout simplement pas que les mathématiques sont associées à l’environnement, à la réalité.

Pour ces élèves, faire des mathématiques, c’est calculer, point final. Très jeunes, on leur a appris à « compter », c’est-à-dire qu’ils ont mémorisé la suite des termes qui désignent les nombres entiers. On s’est aussi amusé à leur apprendre que 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, etc. et d’autres combinaisons élémentaires. Tout cela alors qu’ils ne comprenaient pas vraiment ce qu’est un nombre. En effet, il suffit de leur demander de dénombrer des objets disposés en ligne pour constater que, parfois, ils comptent « du vide » ou comptent deux fois le même objet. Et s’ils dénombrent correctement, lorsqu’on leur demande ensuite si le compte serait le même en comptant les objets de droite à gauche au lieu de gauche à droite ou encore après avoir étiré lentement la ligne d’objets devant eux, ils recomptent les objets car ils ne peuvent répondre sans effectuer ce nouveau dénombrement.

Un enfant de six ans qui sait réciter la comptine des nombres, qui connaît ses tables et qui peut même additionner ou soustraire des nombres à deux chiffres, c’est spectaculaire et… risqué. L’élève qui ne comprend pas ce qu’est un nombre ou qui ne peut résoudre un problème car il ne sait s’il faut compter, additionner ou soustraire, développe comme perception que faire des mathématiques, c’est compter ou calculer. Calculer n’importe quoi !

Lorsqu’on insiste d’abord sur le développement de techniques et de faits mémorisés, ce type d’apprentissages prend énormément de place dans la perception des élèves et, vers l’âge de huit ans, ils considèrent que les mathématiques évoluent dans un monde à part, un monde fort différent du leur. Il suffit de poser aux élèves de huit à quatorze ans des problèmes tels les suivants pour le constater.

- Une corde mesure 2 mètres à 1 heure, quelle sera sa longueur à 3 heures ? (6 mètres.)
- Lors d’un match de hockey, le joueur qui porte le chandail numéro 1 a marqué 2 buts. Combien de buts a marqué le joueur qui porte le chandail numéro 3 ? (Possiblement 6 buts… Donnez-moi le chandail numéro 99…)
- Avec une canne à pêche de 2 mètres, un pêcheur a capturé un poisson mesurant 50 cm. Quelle aurait été la longueur de ce poisson si le pêcheur avait pris une canne à pêche deux fois plus longue ? (1 mètre.)
- Sur un navire, il y a 12 chèvres, 8 moutons et 20 chevaux. Quel est l’âge du capitaine ? (40 ans… et si 5 chèvres tombent à la mer ? L’effet est habituellement spectaculaire sur l’âge du capitaine.)
- Un peintre prend 6 jours pour peindre une maison, un autre fait le même travail en 4 jours. Combien de temps prendront-ils pour peindre cette maison s’ils travaillent ensemble ? (10 jours… ils se sont probablement syndiqués ; 5 jours… alors, engagez seulement celui qui fait le travail seul en 4 jours car l’autre est sûrement le président du syndicat…)
- Une poule qui a 2 pattes est attachée à 1 arbre, une vache qui a 4 pattes est attachée à 2 arbres. Combien de pattes aura un cheval attaché à 3 arbres ? (6 pattes évidemment… 2 par arbre.)

Les réponses entre parenthèses sont celles que donnent les élèves, et souvent certains adultes – essayez le problème des peintres – qui ont appris d’abord des techniques et des faits mathématiques sans les découvrir en essayant de résoudre des problèmes. Leurs réponses peuvent être les mêmes que celles des élèves manquant d’autonomie car ils ont développé la perception que faire des maths c’est calculer ou dénombrer, ce n’est pas penser.

Le problème ne provient pas principalement de l’âge où ils ont appris cela, mais du fait que la séquence correcte d’apprentissages a été inversée. Faire des maths, c’est d’abord imaginer, associer et raisonner à partir de son environnement. Ce travail peut conduire à calculer ou à dénombrer, mais ces habiletés sont des outils des maths et non les mathématiques elles-mêmes.

Cette séquence inversée, et courante, conduit à désigner les problèmes contextuels par l’expression « problèmes d’application ». Peut-on être plus clair ? On commence par apprendre à calculer et ensuite on voit à quoi cela peut servir.

En guise de réponse au problème du cheval, des élèves ont répondu « Logiquement 4 pattes, mais mathématiquement 6 pattes ». Bref, dans la vraie vie, les chevaux ont quatre pattes, sauf s’il s’agit de « chevaux mathématiques », lesquels peuvent avoir 12 (3 x 4), 7 (3 + 4), 6 ( c’est une suite : 2, 4, 6…) ou 1 patte(s) (4 – 3) selon le type d’exercices réalisés durant les jours qui précèdent celui où la question a été posée.

Une chose intéressante, que la difficulté provienne d’un manque d’autonomie ou d’une mauvaise perception de ce que sont les mathématiques, les réponses sont habituellement les mêmes, mais le travail de rééducation est fort différent. Si ce travail est réalisé sans un bon diagnostic ou encore s’il consiste à faire pratiquer l’élève au moyen de plus en plus de problèmes d’application ou de situations problème, c’est inutile… et frustrant. D’autant plus que certaines mises en situation sont complètement farfelues. Imaginez, par exemple, que la réussite de quelques additions donne des points qui permettent d’acheter … des vertus. Vous croyez que je divague ? Malheureusement non, puisque tel est le but de la nouvelle situation problème que le MEQ propose cette année afin d’évaluer les élèves qui terminent leur sixième année. De quoi vérifier vraiment si les élèves sont capables de transfert avec autant de facilité que certains fonctionnaires du MEQ sont capables de folie.

Il y a des personnes qui n’apprendront jamais. Mieux vaut les cacher au MEQ que d’exposer les élèves à leurs … compétences.

Robert Lyons