MATHADORE
    Volume 5 Numéro 175 - 27 février 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                L段mage mentale en apprentissage

La construction d置ne image mentale devrait constituer la « phase un » de tout apprentissage. Si l段mage mentale est adéquate, elle permet d段dentifier les propriétés et les applications du concept étudié. De plus, toutes les applications de ce concept ainsi que toutes ses représentations symboliques peuvent s馳 référer.

Dans  Mathadore 174, la multiplication a été associée au rectangle. Si nous voulons étudier les propriétés de la fonction multiplicative (multiplication, division, factorisation et extraction de racines), le rectangle permet de le faire, et ce, bien avant l段ntroduction du symbolisme et du vocabulaire qui décrivent ces propriétés.

Commutativité Un rectangle de 5 unités de longueur et de 3 unités de largeur est identique à un rectangle de 5 unités de largeur et de 3 unités de longueur.

Distributivité Partager un rectangle de 3 rangées de 5 carrés en deux rectangles de 3 rangées, l置n possédant 2 carrés par rangée et l誕utre 3 carrés par rangée, ne modifie pas la quantité de carrés. Exemple :
                              

Associativité Pour trouver le volume d置n prisme mesurant 3 x 4 x 5, on peut d誕bord trouver l誕ire de sa base ( disons 3 x 4 = 12 ) et la multiplier par la hauteur du prisme ( 3 x 4 = 12,  puis 12 x 5 = 60). Le volume reste le même si on trouve d誕bord l誕ire d置ne face (3 x 5 = 15) et si l弛n multiplie le nombre obtenu par la largeur de la base (15 x 4 = 60).

Élément neutre Un rectangle d置ne seule rangée possède le même nombre d置nités d誕ire que d置nités de longueur : 1 x 7 = 7.

Élément absorbant   Un  rectangle  n誕yant   aucune   largeur   n誕   aucune  aire : 5 x 0 = 0. 

Opération inverse Si l誕ire d置n rectangle peut être trouvée lorsqu弛n connaît sa longueur et sa largeur, inversement, à partir de l誕ire d置n rectangle et de sa longueur, il est possible de trouver sa largeur. Exemple :
                               
En fait, 3 x 5 = 15 et 15 ÷ 3 = 5 décrivent le même rectangle.

Tout ce qui précède devrait être réalisé sans le recours au vocabulaire et au symbolisme mathématiques. La « phase deux » consistera à associer en parallèle différents modes symboliques aux images mentales. En ce qui concerne la fonction multiplicative, on utilisera les entiers positifs et l誕lgèbre.

Voici quelques exemples.
D誕bord le carré :
                           
                             3 x 3 = 9                                5 x 5 = 25
                             c x c = c²                                 c x c = c²
         
                             

Il suffit simplement de mentionner que c représente le nombre d置nités du côté et que c2 montre que les 2 dimensions du rectangle sont égales, donc que ce rectangle est un carré.

Ensuite le rectangle :
                        
                             3 x 6 = 18                          4 x 5 = 20
                             a x b = ab                           a x b = ab
                             18 ÷3 = 6                          20 ÷ 5 = 4
                             ab ÷ a = b                          ab ÷ b = a

a est un côté, b est l誕utre. Comme on n置tilisera qu置n seul rectangle dans chaque problème, on pourra garder les mêmes lettres, mais il est préférable de demander aux élèves de choisir des lettres différentes d置n problème à l誕utre pour qu段ls perçoivent la souplesse de l誕lgèbre. 

Une idée : chaque élève choisit ses initiales. Une belle discussion : Andrée Alarie a nommé son rectangle aa, est-ce nécessairement un carré ? Et Marc Pouliot a nommé son rectangle mp, est-ce possible que ce soit un carré ?

Andrée doit avoir un carré, sinon a prend deux valeurs différentes. Par contre, Marc peut avoir un carré car rien n弾mpêche que m = p.

Robert Lyons

La suite dans deux semaines,  après la relâche scolaire.