MATHADORE
    Volume 5 Numéro 173 - 13 février 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                            Les opposés

Une image mentale très simple et très utile est celle de deux équipes sportives qui s’opposent. En mathématiques, les situations d’opposition sont fréquentes, comme dans la vie… Depuis 1489, grâce à  Johann Widman, en mathématiques, les équipes qui s’opposent s’appellent l’équipe des + et l’équipe des – 

Voici quelques cas d’opposition pour lesquels ces symboles peuvent être utilisés. Tout le monde pense d’abord à l’addition et à la soustraction, opérations opposées où additionner 5 est l’opposé de soustraire 5. Lorsque ces deux opérations opposées s’effectuent avec les mêmes quantités, elles s’annulent : +5 – 5 = 0.

Les entiers relatifs montrent une opposition. Imaginez une partie de hockey dans laquelle l’équipe des + marque 4 buts et l’équipe des – en marque seulement 1. En conséquence, l’équipe des + gagne par 3 buts :  +4 –1 =  +3.  Évidemment, l’équipe des  – peut aussi gagner : +2 –5 = –3. Dans la séquence traditionnelle des programmes, l’équipe des + peut gagner même lorsque les élèves n’ont que six ans, par contre, dans ces programmes, il faut attendre que les élèves aient atteint l’âge de dix ou onze ans pour que l’équipe des – puisse gagner !?

L’équipe des + et l’équipe des – peuvent aussi servir à désigner les régions dans le plan cartésien ou une position sur un axe numérique. L’équipe des + peut aussi personnifier l’équipe des personnes qui disent la vérité ou qui ne font pas d’erreurs alors que l’équipe des – ment ou fait des erreurs. Ainsi dans +(+2) et dans +(–2), le premier + indique que ce qui suit est vrai, fiable, de sorte que +(+2) devient +2 et +(–2) devient –2. Par contre dans –(+2) et –(–2), le premier – indique qu’une erreur a été commise, que le signe + ou – situé dans la parenthèse est erroné. Donc –(+2) signifie –2 alors que –(–2) signifie +2. Lorsqu’il y a un + devant la parenthèse, cela signifie que l’on cite un membre de l’équipe qui dit vrai ou qui ne fait pas d’erreurs; lorsqu’il y a un –, on cite alors un membre de l’équipe des menteurs ou de l’équipe qui fait constamment des erreurs.

Dans une égalité, les symboles + et – peuvent aussi être interprétés en terme d’opposition. Le + indique que le nombre qui le suit est situé du bon côté du signe d’égalité alors que le – indique que le nombre qui suit devrait être de l’autre côté du signe  d’égalité.  Ainsi   + 6  – 2  =  + 4  peut  devenir + 6 =  + 4 + 2    ou  encore :  – 5 =  –7 + 2  revient au même que + 7 = + 5 + 2 ou  – 5 – 2 =  – 7, etc.

Terminons par les « mystérieux » exposants. L’équipe des + occupe la position du numérateur et l’équipe des – celle du dénominateur. Grâce aux exposants, on indique quelle équipe a « le plus de joueurs » et combien de « joueurs » elle a de plus :

                                          
                                       
                                           
     
                                              

Qui peut expliquer pourquoi, dans les programmes de mathématiques, l’enseignement des exposants doit s’étendre sur 5 ans, à partir de l’âge de 10 ans pour les exposants positifs, vers l’âge de 12 ans pour l’exposant zéro et vers l’âge de 15 ans pour les exposants négatifs ? C’est ce que les programmes demandent. Pour plusieurs tenant d’une pseudoscience pédagogique ou didactique, présenter plus rapidement tous les types d’exposants vus plus haut peut conduire les élèves faibles à l’échec…

En fait, l’enseignement de ces exposants sur cinq ans conduit environ un pourcent de la population à comprendre l’exposant zéro et les exposants négatifs. Par contre, en présentant ces trois types d’exposants  en parallèle et en cinq minutes aux élèves de dix ans, on observe un taux d’échec qui s’approche de un pourcent et non de quatre-vingt-dix-neuf pourcent. Et lorsque, en moins de deux minutes, on présente de cette façon les exposants à des adultes, quelle que soit leur scolarité, tous comprennent facilement. Tous demandent pourquoi ce n’est pas de cette façon que les exposants leur ont été enseignés.

Ce qu’il y a de plus troublant, c’est que des pédagogues n’aient toujours pas compris qu’un grand nombre de difficultés d’apprentissage résultent de l’étirement injustifié des séquences d’enseignement. Cet étirement empêche les élèves d’envisager, au départ, le concept à apprendre dans sa globalité. Cela conduit alors les élèves à se construire des lois qui leur permettent de survivre lors de la résolution de tous les  problèmes qu’on leur propose, mais de ceux-là seulement. Enfin, les élèves ne peuvent anticiper que ce qu’ils apprennent aujourd’hui les conduira dans un an ou deux à des difficultés parce que les futurs problèmes seront alors insolubles en vertu des lois que ces élèves se construisent et  valident maintenant au moyen de nombreux exercices semblables !

Quand les rédacteurs de programmes, les formateurs de maîtres et les auteurs de matériel didactique observeront-ils enfin qu’à l’extérieur de l’école, les élèves apprennent, entre autres, à parler en nous écoutant utiliser dans un même récit des verbes du premier et du deuxième groupe? Faudrait-il aviser les parents de n’utiliser que les verbes du premier groupe pendant trois mois avec leurs jeunes enfants avant d’aborder les verbes de deuxième groupe ? Et, après l’utilisation rigoureuse d’une telle stratégie, si des enfants présentent des difficultés au moment d’aborder les verbes du deuxième groupe, faudra-t-il repousser plus tard l’apprentissage de ces verbes ? N’est-ce pas exactement ce que nous faisons lorsque des élèves sont identifiés comme plus lents en mathématiques ? Ne réagissons-nous pas habituellement en étirant davantage la séquence d’apprentissages ?

Je termine en offrant toutes mes excuses aux lecteurs qui, n’ayant pas compris, avant de lire ce texte, les exposants négatifs et l’exposant zéro ont été brutalement confrontés plus haut à ces divers exposants. Selon les théories didactiques les plus répandues, il aurait fallu vous proposer cette semaine, ou même ce mois-ci, des exercices où ne figurent que des exposants positifs. Cela vous aurait, théoriquement, mieux préparé à l’apprentissage des exposants négatifs et nul pendant lequel, votre apprentissage des exposants positifs aurait été … contredit.

Quel  est  ce diable de principe didactique  ou  pédagogique  selon lequel, pour aider les élèves à mieux  comprendre  plus tard, il faut leur enseigner ou leur laisser inférer maintenant des faussetés ?

Robert Lyons