MATHADORE
    Volume 5 Numéro 172 - 6 février 2005

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

             Balance et phrases mathématiques
 

Cette semaine, voici une autre image mentale simple. Celle-ci donne une idée juste de ce qu’est l’égalité.

Précisons d’abord qu’à tort, l’égalité est souvent vue comme une histoire ou encore la démarche de résolution d’un problème. Cette conception peut entraîner certaines difficultés d’apprentissage et elle peut aussi conduire à une évaluation défavorisant l’élève.

En guise de difficulté d’apprentissage certains élèves refusent l’égalité 5 + 3 = 6 + 2 et la remplacent par 5 + 3 = 8 + 2 = 10 en racontant « J’avais 5… et j’en ai reçu 3. J’en ai maintenant 8 et non 6. J’en reçois encore 2 alors j’en ai 10. »

Par ailleurs, si nous posons aux élèves un problème tel « Avec 10 $ j’ai acheté un coffret au prix de 6 $. Combien m’a-t-on remis d’argent ? », nous espérons trop souvent retrouver l’égalité suivante   en  guise  de  solution :  10 $  -  6 $ = 4 $.  Nous  refusons   6 $  +  4 $ = 10 $   ou 10 $ - 4 $ = 6 $ puisque ces égalités, pourtant adéquates, ne racontent pas la démarche.

Ce n’est pas certain ! D’ailleurs les caissières ont l’habitude de remettre l’argent en l’additionnant au prix de l’objet payé et non en effectuant une soustraction. Ensuite, et surtout, une phrase mathématique doit représenter une relation entre des quantités. Or, entre 4 $, 6 $ et 10 $ il existe une relation qui peut s’exprimer de plusieurs façons avec soit le signe d’addition, soit le signe de soustraction. Bref, une phrase mathématique peut ressembler à la démarche ayant permis de résoudre un problème, mais ce n’est pas une obligation et il n’est pas souhaitable d’en faire une exigence.

La balance à plateaux illustre bien ce qu’est l’égalité (et l’inégalité). Elle montre, dans le cas de l’égalité, que la même masse doit figurer dans chaque plateau. Cette masse peut être identique physiquement de part et d’autre : 10 kg = 10 kg, ou être construite différemment dans un plateau et dans l’autre. Dans un tel cas la grande flexibilité du symbolisme mathématique permet d’illustrer ce qui existe concrètement.

Exemple : 6kg + 4kg = 5 x 2kg.

Si l’addition est facile à illustrer, c’est une autre histoire avec la soustraction : 
6 – 4 = 2. Mais, si l’image mentale a été bien établie, le transfert peut s’effectuer assez facilement.

L’élève interprétera d’abord diverses additions en observant une balance à plateaux : 5 + 3 = 8. Interprétation « Un paquet de 5 et un paquet de 3, c’est comme un paquet de 8. » ou « Pour obtenir 8, il suffit de réunir 5 et 3, entre autres. ». Aussi 6 – 2 = 4 pourra être interprété : « 6, c’est 2 de plus que 4 » ou « S’il y a 6 kg sur un plateau et 4 kg sur l’autre, il faut enlever 2 kg sur le plateau où il y en a 6 pour obtenir une égalité, mais, on peut aussi ajouter 2 kg au plateau où il y en a 4. »

Observez jusqu’où ce genre d’interprétations peut nous mener et régler de nombreux mystères mathématiques.

6 $ ÷ 3 = 2 $  – Six dollars est le triple de 2 $

6 $ ÷ 2 = 3 $  – Six dollars est le double de 3 $

6 $ ÷ 1 = 6 $  – Six dollars est égal à 6 $

6 $ ÷ ½ = 12 $  – Six dollars est la moitié de 12 $

6 $ ÷ (-1) = -6 $ – Posséder 6 $ est l’opposé de devoir 6 $.

Rappelons enfin que, dans une égalité, ne peuvent figurer que des symboles et termes mathématiques ou des pictogrammes qui représentent ces termes ou symboles. Ainsi, aucune « pomme » dans une égalité car une pomme n’est pas une unité mathématique sinon, toutes les pommes devraient être identiques comme une durée d’une heure est parfaitement identique à une autre durée d’une heure.

Autre exemple : le mot « reste » ne peut pas être utilisé dans une égalité, sinon de déplorables conclusions apparaissent. Ainsi, l’« égalité » 10 ÷ 4 = 2 reste 2 est inacceptable. Il faudrait plutôt écrire : 10 ÷ 4 = 2,5  ou  10 ÷ 4 = 2½. La contradiction qui découle de 10 ÷ 4 = 2 reste 2 est la suivante : si 10 ÷ 4 = 2 reste 2 est acceptable, alors 5 ÷ 2 = 2 reste 1 est aussi acceptable. Or, puisque  
10 ÷ 4 =  2,5  et 5 ÷ 2 =  2,5  il  nous  faut  conclure  que  2 reste 2 = 2 reste 1 !!!
et que 2 = 1 !!!

Robert Lyons