MATHADORE
    Volume 5 Numéro 165 - 7 novembre 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

       La résolution de problèmes : une habileté (1).
 

Le défi de Fermat

Après avoir considéré la résolution de problèmes en tant que didactique, puis en tant qu’objet des mathématiques, abordons maintenant la résolution de problèmes en tant qu’habileté.

Dans les trente dernières années, nous avons tenté de répondre à un besoin criant en mathématiques, à savoir, comment aider les élèves lorsqu’ils doivent résoudre un problème. De nombreuses découvertes ont été effectuées et le cheminement est loin d’avoir atteint sa conclusion. Avant de décrire ce qui a été découvert, je vous propose de tester le processus de résolution de problèmes que nous proposons en tentant de résoudre un problème qui a mis en échec les plus brillants mathématiciens des trois derniers siècles. Nous analyserons par la suite en quoi notre stratégie ressemble et diffère des stratégies habituelles de résolution de problèmes que l’école enseigne et que plusieurs mathématiciens utilisent.

Alors voilà, il y a plus de trois siècles, Pierre de Fermat s’amusait à défier la communauté mathématique européenne en lui adressant des énoncés qu’il affirmait avoir démontrés. Dans les notes qu’il a laissées, seules deux démonstrations, sur les quelques cent vingt énoncés qu’il a proposés, ont été retrouvées. Un de ces énoncés, appelé le dernier théorème de Fermat, car il a été le dernier à être démontré, a mystifié les plus grands mathématiciens des trois derniers siècles. En 1994, après y avoir consacré ses temps libres pendant les sept années précédentes, Andrew Wiles, un des plus grands mathématiciens de notre époque, réussissait à démontrer le théorème. Sa démonstration occupe cependant cent vingt pages et utilise des éléments mathématiques récents. Bref, rien de semblable à ce que Fermat pouvait faire.

Pendant toutes ces années, les mathématiciens ont mis en doute l’affirmation de Fermat selon laquelle il avait démontré ce théorème. Frustration, orgueil… J’ai lu plusieurs textes au sujet des tentatives de démonstration de ce théorème et il me semble qu’une erreur fondamentale a été commise par trois siècles de mathématiciens. Voici l’énoncé du théorème et voici, à mon avis, l’origine de l’erreur.

Habituellement, en mathématiques, la moitié de la difficulté consiste à comprendre la question. Mais ici, elle était évidente – prouver qu’il n’y a pas de nombres entiers x, y et z, solutions de l’équation :   
 
Le problème a l’air simple parce qu’il se fonde sur un élément mathématique que tout le monde peut se rappeler, le théorème de Pythagore : « Le carré de l’hypoténuse d’un triangle rectangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, soit  
 ». (Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, Hachette Littératures, 2002, p.29)

Effectivement, comprendre que la somme de deux carrés parfaits peut être un carré   ( 9 + 16 = 25, par exemple ) alors qu’il est impossible que la somme de deux cubes soit un cube et ainsi de suite pour les puissances 4 et suivantes, jusqu’à l’infini, n’est pas particulièrement difficile. Mais si nous voulons démontrer cet énoncé et si, comme Fermat l’affirme, il a résolu ce problème, alors nous avons avantage à aller au-delà de la stricte compréhension du texte du problème. Ainsi, il pourrait être important de comprendre comment travaillait Fermat, qu’elles étaient ses forces, ses ressources.

Alors voici ce que nous allons tenter de faire. Dans Mathadore 166, nous allons essayer de comprendre comment travaillait Fermat et tenter de décoder les indices qu’il nous a laissés. Bref, nous allons travailler comme des scientifiques ou comme des détectives plutôt que comme des mathématiciens. Forts de cette compréhension de l’environnement de Fermat, qui est aussi l’environnement du problème, nous allons tenter de résoudre ce théorème dans Mathadore 167 et 168. Il faudra cependant éviter d’utiliser des mathématiques avancées,  inconnues de Fermat.

Cette tentative en vue de démontrer le dernier théorème de Fermat nous servira par la suite à analyser les stratégies importantes en résolution de problèmes.  Et si nous réussissons – pariez que ce sera le cas – nous aurons un modèle validé permettant d’enseigner l’art de résoudre un problème.

La semaine prochaine : l’environnement de Fermat.

Robert Lyons