MATHADORE
    Volume 5 Numéro 162 - 17 octobre 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

        Enseigner par la résolution de problèmes (2).
 

Les thématiques (2)

La semaine dernière nous mentionnions le rôle joué par les thématiques en résolution de problèmes. Lorsqu’une thématique est choisie, surtout dans une démarche constructiviste, elle doit être suffisamment forte pour que l’élève mette en veilleuse certaines perceptions, stratégies et connaissances qui ne sont pas pertinentes. Deux orientations semblent alors possibles :
1. Placer l’élève dans un contexte qu’il connaît bien, qui fait partie de sa vie quotidienne, mais qui se situe cependant en dehors du contexte scolaire ; 
2. Placer l’élève dans une situation totalement nouvelle, mais dont il peut s’imprégner facilement.

Une chose importante cependant, dans chaque cas, il faudra « jouer à la cachette », c’est-à-dire tout faire pour que l’élève ne fasse pas de liens avec les mathématiques qu’il connaît et qu’il pourrait incorrectement avec le concept qu’il doit construire. Habituellement, il suffit d’éviter le vocabulaire et le symbolisme mathématiques. Voici un exemple. Une adolescente de seize ans est venue me voir un jour pour que je lui explique les coordonnées cartésiennes. Prétextant ne pas avoir touché à cela depuis plusieurs années, je lui ai demandé quelques minutes de réflexion. Pendant ce temps, je lui ai proposé de m’expliquer le jeu «Combat naval» qu’elle disait connaître. Elle le fit sans voir que ce jeu utilisait les coordonnées cartésiennes. Ce n’est qu’à la fin, lorsque je lui ai dit que je voulais écrire où se situait une case, et surtout, lorsque je mis des parenthèses autour des nombres, qu’elle a reconnu les coordonnées cartésiennes. Pendant le temps où elle m’a expliqué le «Combat naval», elle s’est placée dans un contexte différent et, en répondant à mes questions, elle a justifié tout le système des coordonnées, sans s’en apercevoir.

Il est aussi possible de faire construire des concepts en présentant un problème où, par exemple, l’élève doit fabriquer un dallage qui représente un plancher rectangulaire. Il y a de fortes chances qu’il ne voit pas, dans cette activité, un problème qui touche des notions telles la multiplication, la division et la factorisation.
Pour enseigner les entiers relatifs, nous situons les élèves dans le contexte d’un match sportif où les équipes s’appellent l’équipe des « + » (plus) et l’équipe des « – » (moins). Si l’équipe des « + » marque deux buts (+2) et si l’équipe des « – »  en marque trois (-3), même à six ans, les élèves comprennent que l’équipe des « – »  a gagné par un but : +2 -3 = -1.

Note à l’intention des lecteurs du Québec : Au Québec, il faut attendre que l’élève soit au troisième cycle (vers l’âge de dix ans) pour que l’équipe des « – » puisse gagner. Donc à six ans, +3 -2 = +1 est permis, mais pas +2 -3 = -1. Grâce à cette interdiction, les élèves de sept ou huit ans considèrent que 82 – 13 est impossible (à cause de 2 – 3). Sans cette interdiction, ils calculent 82 – 13 = 70 – 1 = 69.

Voilà pour les thématiques familières. Passons aux problèmes qui placent l’élève dans un contexte nouveau. Il est évident que ce contexte doit comporter un minimum d’éléments de références permettant à l’élève de s’en formuler une image mentale appropriée. Une excellente source de tels problèmes est l’histoire des mathématiques. Il suffit de mentionner aux élèves que nous allons leur raconter quelque chose qui s’est passé il y a des milliers d’années pour qu’ils évacuent de nombreuses connaissances. Après tout, plusieurs élèves du primaire croient que leurs grands parents ont vécu en même temps que… les dinosaures ! De plus ce qui se passait avant leur naissance les intéresse vivement. Par ailleurs, ils peuvent facilement s’imaginer l’environnement d’un berger qui, il y a dix mille ans, vivait dans une grande prairie avec quelques parents et amis. Ils peuvent facilement imaginer que ce berger vérifiait régulièrement si tous ses moutons étaient près de lui. Ils peuvent aussi s’imaginer que, ne sachant pas compter, ce berger devait se trouver un système de dénombrement. Le dépaysement est suffisant pour que les élèves mettent de côté leurs connaissances mathématiques, mais le thème leur permet de se donner des repères faciles qui leur permettent de concevoir le problème du berger et de penser comme lui. Certes, des élèves peuvent proposer des moyens modernes. « Il dessine chaque mouton sur une feuille de papier. » par exemple, mais il est facile de leur rappeler alors qu’en ce temps là le papier n’existait pas. Ce qu’ils comprendront facilement.

Bref, il faut que l’élève ressente le problème, qu’il se situe dans la peau de celui qui a ce problème, qu’il comprenne bien quelles sont ses ressources et surtout que celui qui a ce problème pense comme lui. Sans de telles précautions, comment un élève peut-il être le moteur de son apprentissage ? 

La majorité des échecs en résolution de problèmes proviennent du fait que les élèves n’en comprennent pas le contexte. Que font-ils alors ? Quelque chose de « mathématiques ». Ils essaient d’utiliser le calcul et c’est ainsi qu’on se retrouve avec des chevaux à six pattes (voir Mathadore 161).

Prenons un exemple de contexte farfelu qui ne donne aucune chance à l’élève. Voilà que lors d’une «Grande descente», un petit flocon de neige désire être le premier au sol car les enfants ont hâte à cette première chute de neige. Mais le petit flocon se sent bien seul et il considère que ses chances d’arriver le premier au sol sont très minces car il est si léger et le vent est si capricieux. Que fera-t-il ? Et la réponse est : il se regroupera avec exactement neuf autres flocons de neige et pourra sans doute tomber plus rapidement !

Complètement farfelu ! Comment voulez-vous qu’un élève de six ans pense comme un flocon de neige ? Ce n’est certes pas parce que des auteurs de manuels scolaires réussissent à élever leur pensée à ce niveau qu’un élève de six ans peut le faire !
Que connaît un élève de six ans sur les lois qui régissent la chute des corps ? Au profit de ces auteurs de manuels, ce n’est pas en se liant à neuf autres flocons qu’un flocon de neige réussit à s’alourdir. Et, si cela était possible, un objet lourd ne tombe pas plus rapidement qu’un objet léger !

Soyons clair, les flocons de neige ne se posent aucun problème de nature mathématique. De la même façon les galets qui se trouvent sur une plage de la Gaspésie ne connaissent rien à l’histoire des mathématiques. Les phoques, les renards et les loups ne pensent pas comme des enfants de six ans et, il y a fort à parier que les solutions qu’ils apportent à leurs problèmes quotidiens sont différentes de ce que peuvent imaginer nos élèves. Comme j’aimerais que cette mosaïque de thèmes farfelus ne provienne que de mon imagination !

Lorsqu’un élève a six ou sept ans, il croit que tous les chevaux ont quatre pattes. À compter de l’âge de huit ans, il pense, qu’en mathématiques, il y a plusieurs autres possibilités. Comment lui reprocher cette déviation si, dès l’âge de six ans, on l’invite à penser comme un flocon de neige ?

Robert Lyons