MATHADORE
    Volume 5 Numéro 161 - 10 octobre 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

        Enseigner par la résolution de problèmes (1).
 

Les thématiques

Pour qu’un élève construise lui-même ses compétences, il faut le placer devant des problèmes qui respectent certaines caractéristiques. Une des plus importantes touche les thèmes des problèmes utilisés. Il existe fondamentalement deux types de problèmes, ceux qui exigent la construction d’un nouveau savoir et ceux qui peuvent être résolus à partir de ce que l’on sait. Un problème donné en est-il un «d’invention » ou un « d’application » ? Cela dépend de l’élève qui doit le résoudre, cela dépend de ce qu’il sait déjà.

Prenons un élève de douze ans qui sait additionner et soustraire des fractions avec la technique du dénominateur commun. Proposons-lui d’effectuer la division de fractions :                                                     .         
S’il n’a jamais divisé des fractions mais, s’il sait effectuer 12 ÷ 3 et 35 ÷ 7, il fera ces divisions et trouvera la réponse : 4/5

Si nous lui présentons maintenant  où la division directe n’est plus possible, il réagira d’une des deux façons suivantes. 

1. En plaçant ces fractions sur le même dénominateur avant de diviser :   
                                         .  
La division 15 ÷ 15 = 1 est négligée puisque                                                              
                                              .
2. En transformant 2/3  progressivement en 6/9   pour diviser les numérateurs, puis en 30/45  et en effectuant ensuite :  
                                             .

Cet élève n’inventera jamais la multiplication par l’inverse parce qu’il possède des connaissances qu’il peut utiliser pour solutionner correctement ce problème, aussi nouveau soit-il pour lui. C’est un problème d’application. C’est aussi un problème sans aucune thématique. Les élèves de douze ans connaissent les fractions et la division, il suffit de poser l’équation à compléter pour qu’ils se mettent au travail. Inutile de leur raconter d’histoire.

L’important est donc de placer l’élève dans une situation qui lui pose un problème réel, un problème qu’il ne pourra résoudre au moyen de ses savoirs. Ou encore, un problème tel que sa présentation poussera l’élève à proposer une nouvelle façon de faire. Dites à l’élève qu’un demi kilogramme de viande coûte 3 $ et demandez-lui de trouver le prix d’un kilogramme. Il vous proposera certes de multiplier 3 $ par 2.

Notez d’abord 3 $ ÷ ½ en rappelant que si 2 kilogrammes de viande coûtent 10 $, il suffit d’effectuer 10 $ ÷ 2 pour trouver le prix d’un kilogramme. Cette fois, il faut donc diviser 3 $ par ½. Sauf que l’élève a effectué 3 $ x 2 = 6 $, ce qui est adéquat. D’où : 3 $ ÷ ½ = 3 $ x 2 = 6 $. L’élève ayant compris le problème a pu le résoudre au moyen d’une multiplication alors que tous les problèmes semblables, portant sur des entiers, étaient résolus auparavant par une division :
 12 $ ÷ 4 = 3 $
 12 $ ÷ 3 = 4 $
 12 $ ÷ 2 = 6 $
 12 $ ÷ ½ = 12 $ x 2 = 24 $
Lorsqu’un problème est posé à l’élève, s’il en comprend bien les données, si sa perception du travail à faire est adéquate, il a la possibilité soit d’appliquer correctement ses savoirs soit d’en construire de nouveaux.

Donc, les thématiques ne sont pas toujours nécessaires car, face à un problème donné, la culture de l’élève constitue un environnement thématique extrêmement puissant. Suffisamment  puissant pour le guider ou pour le faire déraper.

Voici un problème que nous posons depuis près de trente ans : « Une poule qui a 2 pattes est attachée à un poteau. Une vache qui a 4 pattes est attachée à 2 poteaux. Combien de pattes aura un cheval attaché à 3 poteaux ? »

Les élèves de cinq, six ou sept ans répondent toujours 4 pattes. À compter de huit ans, et ce jusqu’à treize ans, si ce problème se trouve dans un examen de mathématiques, plus de la moitié des élèves répondent 6 pattes. Certains élèves nous ont déjà écrit «mathématiquement 6 pattes, logiquement 4 pattes.»

Ces mêmes élèves comprennent-ils le problème ? Oui et non. En fait, ils en comprennent bien les données et la question, mais ils comprennent surtout qu’il s’agit d’un problème de mathématiques et qu’ils doivent faire «quelque chose de mathématique». Et, ils effectuent une règle de trois, même s’ils ne l’ont jamais apprise à l’école auparavant.

Chose fascinante, si le même texte est inséré dans un examen de français et qu’on prenne soin d’écrire les nombres en lettres avant d’ajouter «Question sur le texte» et de poser la question du problème, on remarque alors que les élèves répondent que le cheval a quatre pattes. 

Bref, plus fort que le thème du problème, il y a la perception par l’élève du type de travail que l’on attend de lui : « En maths, il faut calculer, en français il faut comprendre de quoi on parle!»
Il n’en demeure pas moins que les thèmes sont importants, mais encore faut-il les choisir avec soin. La semaine prochaine, nous y reviendrons.

Robert Lyons