MATHADORE
    Volume 4 Numéro 157 - 30 mai 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

      Solution du dernier défi : Menteur, menteur !

Rappelons le problème :

Vous parvenez à une intersection en Y. Une personne se tient au début de chacun des deux chemins qui s’offrent à vous. Vous savez qu’une de ces deux personnes ment toujours et que l’autre ne ment jamais, mais vous ignorez laquelle ment et laquelle ne ment pas. Vous ne savez pas quel chemin prendre mais vous pouvez poser une seule question à une seule des deux personnes devant vous. Quelle question poserez-vous pour connaître lequel de ces chemins est celui que vous désirez prendre ?

Il est clair que si nous demandons à une personne quel chemin prendre pour aller à tel endroit, nous aurons une bonne réponse si la question est adressée à la personne qui dit toujours la vérité et une mauvaise réponse dans le cas contraire. Mais, comme nous ne savons pas qui ment ou qui dit la vérité, nous ne pourrons savoir si la réponse obtenue est fiable.

Bien sûr, nous pouvons savoir qui ment et qui dit la vérité en posant une question du genre : «Est-ce que le sol est recouvert de neige ?». Malheureusement, nous aurons alors posé la seule question à laquelle nous avions droit et ne saurons pas quel chemin prendre. Nous devons donc renoncer à identifier qui ment et qui dit la vérité.

Ce n’est cependant pas une bonne raison pour renoncer à faire des mathématiques…

1. Lorsqu’une personne qui ne ment jamais dit qu’elle cite une personne qui ne ment jamais, nous obtenons une vérité. (Mathématiquement :  +  x  +  =  +).
2. Lorsqu’une personne qui ne ment jamais dit qu’elle cite une personne qui ment toujours, nous obtenons un mensonge. (Mathématiquement :  +  x  –  =  –).
3. Lorsqu’une personne qui ment toujours dit qu’elle cite une personne qui ne ment jamais, nous obtenons un mensonge. (Mathématiquement : –  x  +  =  –).
4. Lorsqu’une personne qui ment toujours dit qu’elle cite une personne qui ment toujours, nous obtenons une vérité. (Mathématiquement : –  x    –  =  +).

Il suffit donc de poser à une des personnes, une question impliquant l’autre personne, une question lui demandant ce que l’autre personne dirait : «Si je demandais à l’autre personne, qui est avec toi, quel est le chemin qu’il faut prendre pour aller à tel endroit, quelle serait la réponse que j’obtiendrais?». Si nous posons cette question à la personne qui dit toujours la vérité, nous avons le cas numéro 2 qui précède et nous obtenons un mensonge. Si nous posons cette question à la personne qui ment toujours, nous avons le cas numéro 3 et obtenons aussi un mensonge.

Donc, cette question posée à n’importe laquelle de ces deux personnes nous conduira à obtenir le contraire de la vérité. Le bon chemin sera donc celui qui ne sera pas désigné.

À chacune et à chacun d’entre vous, j’ai le plaisir de souhaiter un été merveilleux en comptant vous retrouver en septembre prochain.

Robert Lyons