MATHADORE
    Volume 4 Numéro 149 - 4 avril 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                              Votre défi : découpage magique

Découpez un carré de 7 cm de côté dans une feuille de papier ordinaire. Votre défi consiste à découper dans ce carré un trou assez grand pour que vous puissiez y glisser votre tête facilement. Vous ne pouvez que découper, la colle et le papier collant sont interdits.
 

                            Le problème de la fourmi patiente

Rappelons d’abord le problème.

Une fourmi avance sur un fil mesurant 1 mètre à raison de 10 centimètres à la minute. Sa vitesse est constante, elle ne fait qu’avancer. Imaginons qu’à chaque minute la longueur du fil double, pouvez-vous démontrer si oui ou non la fourmi finira par atteindre l’autre extrémité du fil ? N’oubliez pas, cette fourmi est très patiente. Ajoutons que le fil s’étire de façon uniforme.

La première chose à laquelle il faut penser pour résoudre ce problème est que, lorsque la longueur du fil double, le trajet déjà parcouru par la fourmi double lui aussi.

On peut tenir le raisonnement suivant :

- Après une minute, la fourmi aura parcouru 10 cm soit 10% de la longueur du fil avant étirement.
- Après un premier étirement, la fourmi est à 20 cm de son point de départ, ce qui représente toujours 10% de la longueur du fil.
- En avançant de 10 cm durant la seconde minute, elle se retrouve à 30 cm de son point de départ et a parcouru 15 % de la longueur du fil.
- Il est clair qu’à chaque minute, puisque la fourmi avance constamment, le pourcentage qui représente sa distance de son point de départ par rapport à la longueur du fil augmentera. Certes, le pourcentage du trajet total à parcourir augmentera de plus en plus lentement mais,  comme la fourmi est très patiente, ce pourcentage finira bien par atteindre 100 %.

Bien que ce qui précède semble logique, il est possible que cela ne vous convainque pas tous. Essayons donc autre chose.

Le tableau suivant montre la distance séparant la fourmi de son point de départ pour chaque minute avant l’étirement de la corde ( A ) et après son étirement ( B ). Il montre aussi la distance séparant la fourmi de son objectif avant étirement ( C ) et après étirement ( D ).
 

Hum ! Plus la fourmi avance, plus il lui reste du chemin à parcourir. Dans chaque colonne, les nombres ressemblent beaucoup à la suite des puissances de 2 qui est : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,… Pour obtenir la colonne A, il suffit d’enlever 1 à chacun de ces nombres et de multiplier le résultat par 10 :

1 : (2 – 1) x 10 = 10
2 : (4 – 1) x 10 = 30
3 : (8 – 1) x 10 = 70

La formule pour trouver les nombres de la colonne A est donc (2m –1) X 10. La lettre m représentant le nombre de minutes depuis le départ.

Pour la colonne C, on constate qu’il faut ajouter 1 à la suite des puissances de 2, en commençant à la troisième puissance, soit au nombre 8 et multiplier le tout par 10. La formule pour trouver les nombres de la colonne C est donc (2m+2 + 1) X 10.

Pour que la fourmi atteigne le bout du fil, il faut que la distance qu’il lui reste à parcourir à un certain moment  soit égale à zéro. Il faut donc que, dans la colonne C, apparaisse éventuellement le nombre 0. C’est vraiment mal parti ! Il faudrait que (2m+2 + 1) = 0 ou que 2m+2 = -1. Il faudrait donc élever le nombre 2 à une puissance positive telle que le résultat soit zéro. Oubliez ça, c’est impossible !.

On dirait qu’en résolution de problèmes, il vaut mieux essayer de valider une solution en tentant d’en construire une qui soit complètement différente. On comprendra que, dans la première solution, le pourcentage augmentera certes sans arrêt, mais le problème c’est qu’entre 20% et 21%, par exemple, il y a une infinité de nombres. Alors imaginez entre 0% et 100 %. Bref, la patience, même la plus grande, a ses limites et elles sont largement inférieures à… 100 %.
 

Robert Lyons