MATHADORE
    Volume 4 Numéro 147 - 21 mars 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                   Votre défi : la fourmi patiente
 

Une fourmi avance sur un fil mesurant 1 mètre à raison de 10 centimètres à la minute. Sa vitesse est constante, elle ne fait qu’avancer. Bon, vous seriez déçu(e) si je vous demandais combien de temps elle prendra pour se rendre à l’autre extrémité du fil. Pour ne pas vous décevoir, ajoutons un peu de piquant à ce problème. Imaginons qu’à chaque minute la longueur du fil double, pouvez-vous démontrer si oui ou non la fourmi finira par atteindre l’autre extrémité du fil ? N’oubliez pas, cette fourmi est très patiente. J’ajoute que le fil s’étire de façon uniforme.
 

                  Le problème du carré inscrit

Rappelons le problème.

Un triangle vous est donné.

                                         
Il faut y inscrire un carré, c’est-à-dire qu’il faut tracer un carré dont les 4 sommets touchent les côtés du triangle. Bref, votre figure finale ressemblera à ceci.
                                         
Il est facile, avec une règle, d’en arriver à une approximation acceptable, mais cela n’est pas suffisant. Il faut arriver à une solution qui résulte d’une méthode systématique et non d’une séries d’essais et erreurs.

Essayons de trouver une régularité en traçant quelques carrés sur la base de ce triangle et en nous assurant que le troisième sommet de chaque carré touche le même côté du triangle.

  

Il est facile d’observer que le quatrième sommet de chacun de ces carrés se trouve sur une droite. Le quatrième sommet du carré à inscrire se trouve donc sur cette droite, là où elle croise le troisième côté du triangle.

     
En résolution de problèmes, il est souvent utile de laisser tomber une des conditions du problème – ici, la position du quatrième sommet du carré – afin de solutionner un problème plus simple. De cette façon, une régularité peut souvent être trouvée. Ensuite il s’agit de voir comment la condition abandonnée peut respecter la régularité trouvée.

Robert Lyons