MATHADORE
    Volume 4 Numéro 145 - 7 mars 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                     
                   Votre défi : le carré inscrit
 

Voici un problème qui peut paraître simple mais, comme sa solution exige plus qu’une approximation, il vous faudra mettre au point une méthode qui permet d’arriver à la réponse exacte tout en démontrant son exactitude.

Un triangle quelconque vous est donné.

                                       
Il faut y inscrire un carré, c’est-à-dire qu’il faut tracer un carré dont les 4 sommets touchent les côtés du triangle. Bref, votre figure finale ressemblera à ceci.

                                   
Il est facile, avec une règle, d’en arriver à une approximation acceptable, mais cela n’est pas suffisant. Il faut arriver à une solution qui résulte d’une méthode de systématique et non d’une série d’essais et erreurs.
 

                 Le problème des trains

Rappelons le problème.

Un jeune homme habite près d’une station où passent, en sens opposés, deux trains, l’un allant vers le nord et l’autre vers le sud. Il a deux petites amies, l’une habite la banlieue nord et l’autre la banlieue sud de la ville. Pour aller voir la première, il prend le train qui va vers le nord. Pour aller voir la seconde, il prend le train qui va vers le sud. Comme il aime les deux autant une que l’autre, il monte simplement dans le premier train se présentant à la gare, laissant ainsi le hasard déterminer à qui il rendra visite.

Tous les samedis après-midi, le jeune homme arrive à la gare sans se soucier de l’heure. Les trains, qu’ils aillent en direction du nord ou du sud passent à la gare avec la même fréquence : toutes les dix minutes. Cependant, pour une raison apparemment inexplicable, notre jeune homme constate qu’il voit beaucoup plus souvent sa petite amie de la banlieue nord ; neuf fois sur dix en moyenne, il se retrouve auprès d’elle.

Comment cela est-il possible ?

Puisqu’il y a autant de trains qui vont dans chaque direction et que leurs départs alternent sans cesse et puisque seul le hasard influence l’heure d’arrivée de ce jeune homme, il faut trouver une variable qui n’entre pas en contradiction avec ce qui précède.  Il faut aussi éviter de sauter trop rapidement à une conclusion selon laquelle, par exemple, le train allant vers le nord passe cinq minutes avant et après celui qui va vers le sud. Dans ce cas, on ne devrait pas observer la situation décrite par le problème.

Comment est-il possible d’avoir 9 fois plus de chances d’aller vers le nord que vers le sud ? Il faudrait simplement que le temps qui s’écoule entre le départ du train du sud et le départ du train du nord, qui le suit, soit 9 fois plus long que le temps écoulé entre le départ du train du nord et le départ du train du sud.

Par exemple, si le train du nord part à 12h00, 12h10, 12h20,… et que le train du sud part à 12h01, 12h11, 12h21, pour aller vers le sud, il faut que notre ami arrive entre 12h00 et 12h01 ou entre 12h10 et 12h11,… Cela lui laisse peu de temps. Par contre, il ira vers le nord s’il arrive entre 12h01 et 12h10 ou 12h11 et 12h20…
 

Robert Lyons