MATHADORE
    Volume 4 Numéro 143 - 15 février 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

 
                                        Votre défi : les trains

Un jeune homme habite près d’une station où passent, en sens opposés, deux trains, l’un allant vers le nord et l’autre vers le sud. Il a deux petites amies, l’une habite la banlieue nord et l’autre la banlieue sud de la ville. Pour aller voir la première, il prend le train qui va vers le nord. Pour aller voir la seconde, il prend le train qui va vers le sud. Comme il aime les deux autant une que l’autre, il monte simplement dans le premier train se présentant à la gare, laissant ainsi le hasard déterminer à qui il rendra visite.

Tous les samedis après-midi, le jeune homme arrive à la gare sans se soucier de l’heure. Les trains, qu’ils aillent en direction du nord ou du sud passent à la gare avec la même fréquence : toutes les dix minutes. Cependant, pour une raison apparemment inexplicable, notre jeune homme constate qu’il voit beaucoup plus souvent sa petite amie de la banlieue nord ; neuf fois sur dix en moyenne il se retrouve auprès d’elle.

Comment cela est-il possible ?

                         L’énigme des 9 points

 En premier lieu, rappelons l’énigme :

Vous devez tracer les neuf ( 9 ) points suivants sur une surface plane en les disposant exactement comme suit :

                                            

Sans lever le crayon et sans repasser sur le même segment, ( vous pouvez cependant croiser un segment ) vous devez passer par chacun des points de la grille. Il vous faut essayer de le faire en utilisant le moins de segments consécutifs. Vos segments peuvent être rectilignes ou courbes. Voici la solution classique.
 

                                              
 

On le voit, cette solution demande de sortir du cadre du problème, ce qui demande de faire quelque chose qui semble inutile, mais qui conduit à une belle solution.

Essayons d’aller plus loin. Imaginez que les 9 points sont tracés sur une paroi de caoutchouc, laquelle peut être étirée facilement.

                                              
 

En tirant sur les points A et E, il est possible de placer les points A, B, C, D et E sur une même droite.

De la même façon, il est possible d’aligner ensuite les points A, H, G, F et E et de les réunir par une seconde droite. Il reste à joindre le point central par un troisième segment de droite.

Si nous acceptons les segments courbes, la solution suivante devient possible.
 

                                                  
                          

Allons plus loin. Tracez d’abord trois parallèles en les prolongeant jusqu’aux extrémités de la feuille.

                                         

Il suffirait maintenant de placer ces trois segments parallèles un au bout de l’autre pour n’en obtenir qu’un seul. Formons un cylindre avec la feuille de sorte que les extrémités du segment AB se touchent, ainsi que celles des segments CD et EF. Nous obtenons trois cercles parallèles. Glissons les côtés de la feuille de sorte que le point B touche le point C et que le point D touche le point E. Les trois segments se trouvent ainsi n’en former qu’un seul. C’est une vis sans fin !

Vous croyez que j’ai triché ? Non, j’ai imaginé, j’ai simplement essayé de ne pas m’imposer de contraintes que le problème ne contenait pas.
 

Robert Lyons