MATHADORE
    Volume 4 Numéro 141 - 1er février 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                     Votre défi : les 9 points
 

Vous devez tracer les neuf ( 9 ) points suivants sur une surface plane en les disposant exactement comme suit :

                                       

Sans lever le crayon et sans repasser sur le même segment, ( Vous pouvez cependant croiser un segment. ) vous devez passer par chacun des 9 points. Il vous faut essayer de le faire en utilisant le moins de segments consécutifs. Vos segments peuvent être rectilignes ou courbes.
 

Segments rectilignes : 

                                       

           1 segment                 2 segments                                 1 segment

Segments courbes : 

          1 segment                          2 segments
 

                                                

   Comptez ce cas comme un seul segment, même s'il traverse plusieurs points.

Si vous y parvenez au moyen de :

- 5 segments : Franchement…
- 4 segments : Ce record a tenu jusqu’à il y a une dizaine d’années.
- 3 segments : Bienvenue dans le cercle des as !
- 2 segments : Il faudra me montrer cette solution.
- 1 segment  : Bienvenue dans mon club !!!
 
 

                   L’énigme des chapeaux
 

Rappelons d’abord l’énigme.

Dans l’obscurité totale, quatre personnes ont pigé chacune un chapeau dans une boîte qui contenait 4 chapeaux noirs et 3 chapeaux blancs. Elles se sont placées une derrière l’autre, à la file indienne, avant que la lumière ne s’allume. Aucune de ces personnes n’a vu la couleur de son chapeau.

La personne qui est située derrière les trois autres, annonce que, même si elle voit la couleur des chapeaux des trois autres, elle ne peut dire la couleur de son chapeau.

Par la suite, celle qui est située troisième et qui ne voit que les chapeaux des deux personnes devant elle annonce qu’elle ne peut dire la couleur du chapeau qu’elle porte.

La personne, placée deuxième dans la file annonce qu’elle ne peut dire la couleur de son chapeau.

La personne qui est placée en avant annonce alors correctement la couleur du chapeau qu’elle porte sans en avoir vu aucun. Comment est-ce possible ?
 

Commençons par trouver le nombre de combinaisons possibles. À chaque position, il y a deux possibilités : un chapeau noir ou un chapeau blanc. Or il y a quatre positions 
donc 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Parmi ces seize possibilités, il y en a une qui ne peut survenir, celle où il y a quatre chapeaux blancs. Il reste donc quinze possibilités que voici.
 

       
Convenons que le cercle du haut représente la personne qui est en avant de la file. Vous êtes placé au quatrième rang dans cette file. En regardant devant vous, vous voyez 3 chapeaux blancs. Vous n’hésitez pas, le vôtre est NOIR, car il ne reste plus de chapeaux blancs. Si vous ne pouvez rien dire, cette possibilité doit être éliminée.

Imaginez maintenant que vous êtes la troisième personne de la file et que la première possibilité ait été éliminée à cause de ce qu’a dit la personne située derrière vous. Si vous voyez deux chapeaux blancs devant vous, le vôtre est NOIR. Si tel n’est pas le cas, vous ne pouvez rien dire et il faut éliminer les deuxième et troisième possibilités.

Cela étant fait, imaginez cette fois que vous occupez le deuxième rang. Ce qui s’est produit auparavant vous permet de savoir que seuls les cas numéros 4 à 15  sont encore possibles. Si vous voyez devant vous un chapeau blanc, c’est que vous êtes dans une des situations portant les numéros 4 à 7. Votre chapeau est donc NOIR et le chapeau qui est devant vous est BLANC. S’il n’est pas blanc, vous ne pouvez rien dire et les cas 4 à 7 sont éliminés.

Restent les cas 8 à 15 pour lesquels le chapeau du premier de la file est obligatoirement NOIR.
 

Les énigmes des pièces de monnaie de Mathadore 137 ont conduit un de mes lecteurs, Pierre Lewis, à construire un programme qui vous permet de voir comment chaque possibilité peut être résolue. Essayez-le : ../12pieces/douze.htm  c’est génial  ! 

Merci Pierre,

Robert Lyons.