MATHADORE
         Volume 4 Numéro 139 - 18 janvier 2004

L'hebdomadaire gratuit portant sur l'enseignement des mathématiques

                      Votre défi : Les chapeaux

Dans l’obscurité totale, quatre personnes ont pigé chacune un chapeau dans une boîte qui contenait 4 chapeaux noirs et 3 chapeaux blancs. Elles se sont placées une derrière l’autre, à la file indienne, avant d’éclairer la pièce. Aucune de ces personnes n’a vu la couleur de son chapeau, aucune n’a vu la couleur des chapeaux des autres personnes.

La personne, qui est située derrière les trois autres, annonce d’abord que, même si elle voit la couleur des chapeaux des trois autres, elle ne peut dire la couleur de son chapeau.

Par la suite, celle qui est située au troisième rang, et qui ne voit que les chapeaux des deux personnes situées devant elle, annonce qu’elle ne peut dire la couleur du chapeau qu’elle porte.

Au tour de la personne qui occupe le deuxième rang d’annoncer, en regardant le chapeau de la seule personne placée devant elle, qu’elle ne peut dire la couleur de son chapeau.

La personne qui est placée en avant annonce alors correctement la couleur du chapeau qu’elle porte sans en avoir vu aucun. Comment est-ce possible ?
 

                       L’énigme des pièces de monnaie
 

Rappelons d’abord l’énigme.

1. Vous disposez d’une balance à plateaux très précise. On vous remet 9 pièces de monnaie d’apparence identique. Si une pièce fausse s’est glissée dans le lot, elle est plus lourde ou plus légère que les vraies pièces.

En seulement 3 pesées, vous devez trouver :

a) Si toutes les pièces sont vraies.
b) Si une pièce est fausse, laquelle est-ce et si elle est plus lourde ou plus légère.

Note : J’ai compliqué un peu le problème original qui affirmait au départ qu’une pièce était fausse, mais ce renseignement est inutile car, si aucune pièce n’est fausse, vous pourrez le découvrir.
 

2. Pour les mordus

Cette fois, une pièce fausse s’est glissée parmi un ensemble de 12 pièces. En 3 pesées, trouvez la pièce fausse et précisez si elle est plus légère ou plus lourde.
Les pièces seront appelées A, B, C… L.

1ère pesée : A B C D et E F G H

- Si c’est égal, la pièce défectueuse est une pièce parmi I, J, K, L. Dans ce cas, voir 2e pesée, no 1.
- Si ce n’est pas égal, voir 2e pesée, no 2.

2e pesée, no 1 : A I et J K

- Si c’est égal, L est défectueuse et la 3e pesée dira si L est plus légère ou lourde en la comparant à une des autres pièces, lesquelles sont toutes correctes.
- Si ce n’est pas égal, voir 3e pesée, no 1.

3e pesée, no 1 : A  I étant différent de J K ( 2e pesée no 1 ), mais A étant une bonne pièce ( 1ère pesée ).

- On notera si A I < J K ou si A I > J K, puis on pèsera J et K.
- Si J = K, I est défectueuse et si A I < J K, I est plus légère alors que si A I > J K,
I est plus lourde.
- Par contre si J > K ou J < K, J ou K est défectueuse. Si A I < J K, la pièce défectueuse est la plus lourde entre J et K, mais si A I > J K, la pièce défectueuse est la plus légère entre J et K.

2e pesée, no 2 : Si lors de la première pesée A B C D < E F G H ou l’inverse, on pèsera :   L B G et E F C.

- Si c’est égal, la pièce défectueuse est A, D ou H. Dans ce cas, voir 3e pesée, no 4.
- Si c’est inégal mais que les plateaux sont tels qu’ils étaient pour A B C D et E FG H (donc si A B C D < E F G H et L B G < E F C ou si A B C E > E F G H et
L B G > E F C ) alors la pièce défectueuse est parmi B, E et F (Le fait d’inverser G et C sans rien changer met ces pièces hors de cause.). Dans ce cas, 3e pesée, no 3.
- Par contre, si c’est inégal et que la position des plateaux a été inversée, alors C ou G est fausse. Dans ce cas, 3e pesée, no 2.

3e pesée, no 2 : A  et  C

- Si c’est égal, G est défectueuse et la première pesée ( A B C D et E F G H ) nous indique si elle est plus légère ou plus lourde que les autres.
- Par contre si A < C ou A > C , C est défectueuse et on sait si elle est plus lourde ou plus légère par comparaison à A.
3e pesée, no 3 : B, E ou F est défectueuse et nous savons si L B < E F ou
si L B > E F,  
                                    puisque G = C.   Pesée de E et F.

- Si c’est égal, B est défectueuse et plus légère si L B G < E F C ou plus lourde si 
            L B G > E F C.
- Si E > F et L B G > E F C alors F est trop légère.
- Si E > F et L B G < E F C alors E est trop lourde.
- Si E < F et L B G > E F C alors E est trop légère.
- Si E < F et L B G < E F C alors F est trop lourde.

3e pesée, no 4 : A, D ou H est défectueuse. Pesée de A et D.

- Si c’est égal, H est défectueuse et trop légère si A B C D > E F G H ( 2e pesée,
no 2 ) ou trop lourde si A B C D < E F G H ( 2e pesée, no 2 ).
- Si A < D et si A B C D < E F G H alors A est défectueuse et trop légère.
- Si A < D et si A B C D > E F G H alors D est trop lourde.
- Si A > D et si A B C D < E F G H alors D est trop légère.
- Si A > D et si A B C D > E F G H alors A est trop lourde.
 
 

Ouf !!!

Je ne vous donne pas la solution du problème des 9 pièces qui devient trop facile si vous connaissez les astuces utilisées pour le problème des 12 pièces.

Si vous désirez vous amuser, il est possible de trouver quelle est la pièce défectueuse dans un ensemble de 24 pièces, grâce à 3 pesées, en sachant au départ si la pièce fausse est plus lourde ou plus légère.

Robert Lyons